Математикадан республикалық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 9 сынып

$(n+1)(n+2) \dots (n+k)-k$ саны толық квадрат болатындай барлық $(n,k)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар. ( Ильясов С., Овчинников Д. )

Комментарий/решение

Пусть $k>4$, тогда $(n+1)...(n+k-4)=(k-4)m$ , пусть $(n+k-3)(n+k-2)(n+k-1)(n+k)=4s$, тогда

$a^2+4=(k-4)(4ms-1)$

-что невозможно. Так как $4ms-1$ имеет простой делитель вида $4k+3$.

Ответ: $(1,2),(a^2,1)$.

Решение. Пусть $k>4$ ((с) rightways), тогда $(n+1)…(n+k-4)=(k-4)m$. Пусть $(n+k-3)…(k+4)=4s$, тогда $a^2=(k-4)4ms-k=>a^2+4=(k-4)(4ms-1)$, что невозможно, т.к. $a^2+4$ не может иметь простых делителей вида $4t+3$ (теорема Жирара).

$k=4=>((2n+5)^2-5)^2-72=16a^2≤((2n+5)^2-6)^2=>2(2n+5)^2≤83=>2n+5≤6$, что невозможно.

$k=3=>$ справа множитель вида $l^2+l+1$ не может иметь делитель вида $3k+2$.

$k=2=>n=1.\ \ k=1=>n=a^2$.

Да вы очень глубоко ошиблись.. Теорема Жирара утверждает :

Пусть целые $a,b$ и простое $p=4k+3$.

Теорема утверждает что, $p\vert a^2+b^2$только и тогда если $p \vert a,b$.

но у вас 3 не квадрат, и вы ошиблись не $3k+2$ а $4k+3$.

с $3k+2=p$ теорема когда:

$p \vert a^2+ab+b^2$

только и тогда если $p \vert a,b$

У нас $(n+1)...(n+k)$ делиться на $k!$.

То у нас $V_p ((n+1)...(n+k)-k)=V_p (k)$ для любых простых $p<k$ если $k>4$

Допустим $k>4$ то $V_p (k)=V_p (x^2)$ $(p<k)$. От которого $k$ квадрат

Допустим $k=a^2 \rightarrow a^2|x^2 \rightarrow x^2=(ab)^2$

Поделим уравнение на $a^2$ то у нас выйдет что

$$\frac{(n+1)...(n+a^2)}{a^2}=b^2+1$$

Заметим что LHS делиться на простое $p \equiv 3\pmod{4}$

Но по теореме Жерара это невозможно

Рассмотрим варианты $k<5$

От которого ответы:$(n;k)=(1;2);(y^2;1)$