Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс
Задача №1. Даны действительные числа a,b,c>1. Докажите неравенство
aa+bb+cc≥ab+bc+ca.
(
Ким А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Найдите все тройки попарно взаимно простых натуральных чисел (a,b,c) такие, что для каждого натурального n число
(an+bn+cn)2 делится на ab+bc+ca.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Вписанная и вневписанная окружности прямоугольного треугольника ABC, в котором угол C прямой, касаются стороны BC в точках A1 и A2 соответственно. Аналогично определим точки B1 и B2. Докажите, что отрезки A1B2 и B1A2 пересекаются на высоте проведённой из вершины C треугольника ABC.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №4. В треугольнике ABC точка N — основание биссектрисы угла B, а точка M — середина стороны AC. На отрезке BN нашлись точки A1 и C1 такие, что NA=NA1 и NC=NC1. Прямые AA1 и CC1 пересекаются в точке E. Прямая ME пересекает отрезок BC в точке F. Докажите равенство AB+BF=CF.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №5. Дано дерево полного пирамидального вида, которое состоит из n+1 уровней, и из каждой вершины исходит два ребра вниз и входит одно ребро сверху (при этом в самую верхнюю вершину уровня 1 не входит ни одно ребро, а из вершин последнего (n+1)-го
уровня не исходят рёбра). На рисунке ниже пример показан для n=3.
Сколько существует способов раскрасить ребра данного дерева в заданные 2n цветов (каждое ребро покрашено в один цвет) так, чтобы для каждого цвета все рёбра, покрашенные в этот цвет, составляли путь из некоторой вершины в вершину последнего уровня? (Путь — это последовательность вершин, где каждая следующая вершина соединена ребром с предыдущей и находится уровнем ниже. )
комментарий/решение(3)
Сколько существует способов раскрасить ребра данного дерева в заданные 2n цветов (каждое ребро покрашено в один цвет) так, чтобы для каждого цвета все рёбра, покрашенные в этот цвет, составляли путь из некоторой вершины в вершину последнего уровня? (Путь — это последовательность вершин, где каждая следующая вершина соединена ребром с предыдущей и находится уровнем ниже. )
комментарий/решение(3)
Задача №6. Найдите все такие пары натуральных чисел (n,k), что число (n+1)(n+2)…(n+k)−k является полным квадратом.
(
Ильясов С.,
Овчинников Д.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)