қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс
Задача №1. Даны действительные числа $a,b,c > 1$. Докажите неравенство
$a^a + b^b +c^c \geq a^b+b^c+c^a.$
(
Ким А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Найдите все тройки попарно взаимно простых натуральных чисел $(a,b,c)$ такие, что для каждого натурального $n$ число
${{\left( {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}} \right)}^{2}}$ делится на $ab+bc+ca$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Вписанная и вневписанная окружности прямоугольного треугольника $ABC$, в котором угол $C$ прямой, касаются стороны $BC$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Аналогично определим точки ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$. Докажите, что отрезки ${{A}_{1}}{{B}_{2}}$ и ${{B}_{1}}{{A}_{2}}$ пересекаются на высоте проведённой из вершины $C$ треугольника $ABC$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №4. В треугольнике $ABC$ точка $N$ — основание биссектрисы угла $B$, а точка $M$ — середина стороны $AC$. На отрезке $BN$ нашлись точки $A_1$ и $C_1$ такие, что $NA=NA_1$ и $NC=NC_1$. Прямые $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $E$. Прямая $ME$ пересекает отрезок $BC$ в точке $F$. Докажите равенство $AB+BF=CF$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Дано дерево полного пирамидального вида, которое состоит из ${n+1}$ уровней, и из каждой вершины исходит два ребра вниз и входит одно ребро сверху (при этом в самую верхнюю вершину уровня 1 не входит ни одно ребро, а из вершин последнего $(n+1)$-го
уровня не исходят рёбра). На рисунке ниже пример показан для $n = 3$.
Сколько существует способов раскрасить ребра данного дерева в заданные $2^n$ цветов (каждое ребро покрашено в один цвет) так, чтобы для каждого цвета все рёбра, покрашенные в этот цвет, составляли путь из некоторой вершины в вершину последнего уровня? (Путь — это последовательность вершин, где каждая следующая вершина соединена ребром с предыдущей и находится уровнем ниже. )
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Найдите все такие пары натуральных чисел $(n,k)$, что число $(n+1)(n+2) \dots (n+k)-k$ является полным квадратом.
(
Ильясов С.,
Овчинников Д.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)