Математикадан республикалық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1.

$a,b,c > 1$ болатындай нақты сандар берілген.

$a^a + b^b +c^c \geq a^b+b^c+c^a$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Ким А. )
комментарий/решение(5)

Есеп №2. Әрбір натурал

$n$ саны үшін

${{\left( {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}} \right)}^{2}}$ саны

$ab+bc+ca$ санына бөлінетіндей қос-қостан өзара жай болатын барлық натурал

$(a,b,c)$ үштіктерін табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4)

Есеп №3. Тікбұрышты

$ABC$ үшбұрышының (

$C$ бұрышы тік) іштей және іштейсырт сызылған шеңберлері

$BC$ қабырғасын сәйкесінше

$A_1$ және

$A_2$ нүктелерінде жанайды. Тағы сол сияқты

${{B}_{1}}$ және

${{B}_{2}}$ нүктелерін анықтаймыз.

${{A}_{1}}{{B}_{2}}$ және

${{B}_{1}}{{A}_{2}}$ кесінділері

$ABC$ үшбұрышының

$C$ төбесінен түсірілген биіктікте қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$N$ нүктесі —

$B$ бұрышынан түсірілген биссектриса табаны, ал

$M$ нүктесі —

$AC$ қабырғасының ортасы.

$BD$ кесіндісінде

$DA=DA_1$ және

$DC=DC_1$ болатындай

$A_1$ және

$C_1$ нүктелері табылған.

$AA_1$ және

$CC_1$ түзулері

$E$ нүктесінде қиылысады.

$ME$ түзуі

$BC$ кесіндісін

$F$ нүктесінде қияды.

$AB+BF=CF$ теңдігін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4)

Есеп №5. Пирамида түріндегі

$n+1$ деңгейлі толық ағаш берілген. Түбір (1-ші деңгей) мен ең соңғы (

$(n+1)$ -ші) деңгейдегі нүктелерден басқа қалған деңгейлердегі әр нүктеден төмен қарай екі қабырға шығады, және төбеден бір қабырға кіреді. 1-ші суретте мысал

$n = 3$ үшін көрсетілген. Әрбір түс үшін бірдей түске боялған барлық қабырғалар қандай да бір деңгейдегі төбеден ең төменгі деңгейдегі төбеге дейін жол құрайтындай, ағашты берілген әртүрлі

$2^n$ түске (әр қабырға бір ғана түске боялған) қанша әдіспен бояуға болады? (Келесі төбе алдыңғы төбемен қабырғамен қосылған және деңгейі сол төбеден төмен жататын төбелер тізбегін жол деп атаймыз.)

( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3)

Есеп №6.

$(n+1)(n+2) \dots (n+k)-k$ саны толық квадрат болатындай барлық

$(n,k)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар. ( Ильясов С., Овчинников Д. )
комментарий/решение(6)

результаты