Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс

Даны действительные числа $a,b,c > 1$. Докажите неравенство $a^a + b^b +c^c \geq a^b+b^c+c^a.$ ( Ким А. )

Комментарий/решение

Пусть $c=min \{a,b,c\}$ тогда

$a^a+b^b+c^c \ge a^b+b^a+c^c \ge a^b+b^c+c^a$

Решение. Т.к. неравенство циклическое, рассмотрим два случая. $a≥b≥c=> a^a+b^b+c^c≥a^b+b^a+c^c≥a^b+b^c+c^a$. $b≥a≥c=>a^a+b^b+c^c≥a^c+b^b+c^a≥a^b+b^c+c^a$.

Пусть $x\ge y\ge1, z\ge t\ge1$, тогда $x^z-x^t=x^z(x^{z-t}-1)\ge y^z(y^{z-t}-1)=y^z-y^t\Leftrightarrow x^z+y^t\ge y^z+x^t$. Заметим, что полученное неравенство симметричное, поэтому условие $a\ge b$ не важно. Без ограничения общности $c$ - наименьшее из данных чисел. $$a^a+b^b+c^c \ge a^b+b^a+c^c \ge a^b+b^c+c^a$$

$$a^a + b^b + c^c \geq a^b + b^c + c^a$$

Б.О.О. берем, что $a \geq b \geq c$.

Докажем, что $b^b + c^c \geq b^c + c^b$:

$$x=b-c, b^b = b^c × b^x, b^c \geq c^c \Rightarrow b^c × b^x + c^c \geq b^c + c^c × b^x, b^x \geq c^x \Rightarrow b^c × b^x + c^c \geq b^c + c^c × c^x \Rightarrow b^b + c^c \geq b^c + c^b$$

Тогда, если доказать, что: $a^a + b^c + c^b \geq a^b + b^c + c^a$, то условие выполнено. Заметим, что: $a^a + c^b \geq a^b + c^a$ (доказательство такое же, что и сверху), тоесть: $$a^a + b^b + c^c \geq a^a + b^c + c^b \geq a^b + b^c + c^a$$