Processing math: 100%

Ким А.


Задача №1.  На плоскости выбраны 101 синяя и 101 красная точка, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сумма попарных расстояний между красными точками равна 1 (то есть сумма длин отрезков с концами в красных точках), сумма попарных расстояний между синими тоже равна 1, а сумма длин отрезков с концами разных цветов равна 400. Докажите, что можно провести прямую, отделяющую все красные точки от всех синих. ( Ким А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  На плоскости выбраны 101 синяя и 101 красная точка, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сумма попарных расстояний между красными точками равна 1 (то есть сумма длин отрезков с концами в красных точках), сумма попарных расстояний между синими тоже равна 1, а сумма длин отрезков с концами разных цветов равна 400. Докажите, что можно провести прямую, отделяющую все красные точки от всех синих. ( Ким А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Решите уравнение n!+102014=m4 в натуральных числах m и n. ( Ким А. )
комментарий/решение(8) олимпиада
Задача №4.  Даны действительные числа a,b,c>1. Докажите неравенство aa+bb+ccab+bc+ca. ( Ким А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №5.  На доске написаны натуральные числа a1,a2,,an (не обязательно различные). За ход разрешается стереть любые два числа, и записать вместо них НОД и НОК стертых чисел, при условии, что НОД и НОК не совпадают со стертыми числами. Докажите, что количество возможных операции конечно и то, что результат (как множество чисел) не зависит от последовательности операции. ( Ким А. )
комментарий/решение олимпиада