Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс

Решите уравнение $n!+10^{2014}=m^4$ в натуральных числах $m$ и $n$. ( Ким А. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Четвертая степень числа при делении на $17$ может дать следующие остатки: $0$, $1$, $4$, $13 $ и $16$. И $10^{2014} \equiv 8 \pmod {17}$. Поэтому при $n \geq 17$, левая часть уравнения дает дает остаток $8$ при делении на $17$, а правая такой остаток не может давать. Следовательно, при $n \geq 17$ уравнение не имеет решений.
При $n < 17$ легко проверить неравенства \[{10^{2014}} < {10^{2014}} + n! < {10^{2014}} + \left( {2 \cdot {{10}^{1007}} + 1} \right),\] которые в свою очередь эквивалентны неравенствам \[{({10^{1007}})^2} < {({m^2})^2} < {\left( {{{10}^{1007}} + 1} \right)^2}.\] Получается, что полный квадрат лежит двумя последовательными полными квадратами, чего не может быть. Откуда и получаем ответ.

Если $n\ge 29$ тогда $m^4+(2^{1007})^4=n!+(10^2)^{1007}+16^{1007}=n!+116k=29T$ делится на $29$. Но сумма двух четырех степеней может делиться только на нечетные простые вида $8k+1$ по малой теореме Ферма.

Значит $n<29$.

Случаи $n=1,2,3,4$ легко разобрать. Если $n\ge5$ то рассмотрев по мод 5 получим $n\ge 20$.

Также можно заметить что $n<25$. Дальше остаются лишь случаи $n=20,21,22,23,24$ которые не имеют решении.

Ответ: нет решении

Та же тема что и в прошлом году, и это странное некрасивое 2014...

Красивое решение

значит можно и так:

Так как при $n\le100$: $10^{2014}<m^4=10^{2014}+n!<(10^{1007}+1)^2$, то можно считать, что $n\ge 101$, но тогда

$m^4+1=100^{1007}+1+n!=100^{1007}+1+101k$ делится на $101$ т.е. $1\equiv (m^4)^25\equiv (-1)^{25} =-1 (mod 101)$, противоречие.

Posmotrim kakoe reshenie u avtorov. Esli teper' resheniya otpravyat, to ya vsje vilozhu. Navernyaka takoe.

Да, это авторское решение

если $13\leq n$, то $10^{2014}\equiv 10 \pmod {13},$ откуда решений нету.

если $n\leq 13$, то $10^{1007}\leq m^2$ откуда $13!<10^{1007}<m^2$, следовательно решений нет.