Решения: Республиканская олимпиада, Заключительный этап

Математикадан республикалық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 9 сынып

Жазықтықта 101 көк және 101 қызыл нүктелер таңдалған, және кез келген үш нүкте бір түзудің бойында жатпайды. Екі ұшы да қызыл болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары 1-ге тең (яғни

$101\cdot 100/2$ кесінділер қосындысы), екі ұшы да көк болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары да 1-ге тең, ал ұштары әр түсті болатын кесінділер ұзындықтарының қосындысы 400-ге тең. Барлық қызыл нүктелер түзудің бір жағында, ал барлық көк нүктелер сол түзудің басқа жағында болатындай түзу жүргізуге болатынын дәлелдеңіз. ( Ким А. )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Назовем отрезок $\textit{красным}$ , если он соединяет две красные точки, и $\textit{синим}$ , если он соединяет две синие точки. А если отрезок соединяет две точки разных цветов, то такой отрезок назовем $\textit{обычным}$ . Рассмотрим любые две точки красного цвета $A$ и $B$ , и остальные красные точки ${{X}_{1}}$ , ${{X}_{2}}$ , $\ldots$ , ${{X}_{99}}$ . Тогда из условия задачи и неравенства треугольника имеем: $1>\sum\limits_{i=1}^{99}{\left( A{{X}_{i}}+B{{X}_{i}} \right)}+AB>99AB+AB=100AB\Rightarrow \frac{1}{100}>AB.$ Следовательно, любой красный отрезок по длине меньше $\frac{1}{100}$ . Аналогично, любой синий отрезок меньше $\frac{1}{100}$ . Далее, без доказательства будем пользоваться тем фактом, что если на отрезке $PQ$ лежит точка $R$ , а $S$ любая точка, то $RS \leq \max (SP,SQ)$ .

Докажем, что никакой красный отрезок не пересекается ни с каким синим отрезком. От противного. Пусть красный отрезок

${{K}_{1}}{{K}_{2}}$ и синий отрезок

${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ пересеклись в точке

$O$ . Тогда для любой красной точки

$K$ и синей точки

$C$ верны неравенства

$CK\le OC+OK\le \max \left( C{{C}_{1}},C{{C}_{2}} \right)+\max \left( K{{K}_{1}},K{{K}_{2}} \right)<\frac{1}{100}+\frac{1}{100}=\frac{2}{100}.$ Следовательно, длина любого обычного отрезка меньше

$\frac{2}{100}$ . Количество таких отрезков ровно

$101\cdot 101$ . Тогда сумма длин обычных отрезков не больше

$101\cdot 101\cdot \frac{2}{100}$ , а по условию задачи эта сумма равна

$400$ . Противоречие.
Рассмотрим теперь выпуклую оболочку красных и синих точек. Тогда эти оболочки не пересекаются. Тогда очевидно, что можно провести прямую, для которой выпуклые оболочки будут лежать по разные стороны от этой прямой.
Замечание. Выпуклой оболочкой множества точек называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих все заданные точки.