Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Ким А.


Есеп №1. Жазықтықта 101 көк және 101 қызыл нүктелер таңдалған, және кез келген үш нүкте бір түзудің бойында жатпайды. Екі ұшы да қызыл болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары 1-ге тең (яғни 101100/2 кесінділер қосындысы), екі ұшы да көк болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары да 1-ге тең, ал ұштары әр түсті болатын кесінділер ұзындықтарының қосындысы 400-ге тең. Барлық қызыл нүктелер түзудің бір жағында, ал барлық көк нүктелер сол түзудің басқа жағында болатындай түзу жүргізуге болатынын дәлелдеңіз. ( Ким А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Жазықтықта 101 көк және 101 қызыл нүктелер таңдалған, және кез келген үш нүкте бір түзудің бойында жатпайды. Екі ұшы да қызыл болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары 1-ге тең (яғни 101100/2 кесінділер қосындысы), екі ұшы да көк болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары да 1-ге тең, ал ұштары әр түсті болатын кесінділер ұзындықтарының қосындысы 400-ге тең. Барлық қызыл нүктелер түзудің бір жағында, ал барлық көк нүктелер сол түзудің басқа жағында болатындай түзу жүргізуге болатынын дәлелдеңіз. ( Ким А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. n!+102014=m4 теңдеуін натурал сандар жүйесінде шешіңіздер. ( Ким А. )
комментарий/решение(9) олимпиада
Есеп №4. a,b,c>1 болатындай нақты сандар берілген. aa+bb+ccab+bc+ca теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Ким А. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №5. Тақтада a1,a2,,an сандары жазылған (әртүрлі болуы міндетті емес). Әр жүрісте келесі операцияны орындауға болады: егер жазылған екі санның ешқайсысы сол екеуінің ЕҮОБ-і мен ЕКОЕ-нің ешқайсысына тең болмаса, онда оларды өшіріп, орнына сол ЕҮОБ пен ЕКОЕ-ті жазуға рұқсат. Осындай операцияларды қолданғанда жүрістер саны шектеулі екенін және соңғы нәтиже (пайда болған сандар жиыны) жүрістер тізбегіне тәуелсіз екенін дәлелде. ( Ким А. )
комментарий/решение олимпиада