Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 11 класс


Задача №1.  Для любого натурального числа докажите, что все его натуральные делители можно расставить по кругу так, чтобы из любых двух соседних чисел одно число делилось на другое. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все рациональные числа a, для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел q, что уравнение [xa]{xa}=q не имеет решений в рациональных числах x. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Две пересекающиеся в точках X и Y окружности ω1 и ω2 находятся внутри окружности Ω и касаются ее в точках A и B. Прямая AB повторно пересекает окружности ω1 и ω2 в точках A1 и B1, соответственно. Вписанная в криволинейный треугольник A1B1X окружность касается стороны A1B1 в точке Z. Докажите, что AXZ=BXZ.

( Ильясов С. )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  В равнобедренном треугольнике ABC точка H — середина основания AB, M — середина отрезка BH. Пусть HK — высота треугольника ACH, а прямые CM и BK пересекаются в точке L. Перпендикуляр к прямой BC в точке B и прямая LH пересекаются в точке N. Докажите, что угол BCN в два раза меньше угла ACB. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)
Задача №5.  На плоскости выбраны 101 синяя и 101 красная точка, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сумма попарных расстояний между красными точками равна 1 (то есть сумма длин отрезков с концами в красных точках), сумма попарных расстояний между синими тоже равна 1, а сумма длин отрезков с концами разных цветов равна 400. Докажите, что можно провести прямую, отделяющую все красные точки от всех синих. ( Ким А. )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Бесконечная строго возрастающая последовательность {an} положительных чисел удовлетворяет соотношению an+2=(an+1an)n+nn для каждого натурального n. Докажите, что для любого C>0 существует такое натуральное m(C) (зависящее от C), что am(C)>C. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
результаты