Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 11 класс
Задача №1. Для любого натурального числа докажите, что все его натуральные делители можно расставить по кругу так, чтобы из любых двух соседних чисел одно число делилось на другое.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все рациональные числа a, для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел q, что уравнение [xa]⋅{xa}=q не имеет решений в рациональных числах x.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Две пересекающиеся в точках X и Y окружности ω1 и ω2 находятся внутри окружности Ω и касаются ее в точках A и B. Прямая AB повторно пересекает окружности ω1 и ω2 в точках A1 и B1, соответственно. Вписанная в криволинейный треугольник A1B1X окружность касается стороны A1B1 в точке Z. Докажите, что ∠AXZ=∠BXZ.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. В равнобедренном треугольнике ABC точка H — середина основания AB, M — середина отрезка BH. Пусть HK — высота треугольника ACH, а прямые CM и BK пересекаются в точке L. Перпендикуляр к прямой BC в точке B и прямая LH пересекаются в точке N. Докажите, что угол BCN в два раза меньше угла ACB.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. На плоскости выбраны 101 синяя и 101 красная точка, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сумма попарных расстояний между красными точками равна 1 (то есть сумма длин отрезков с концами в красных точках), сумма попарных расстояний между синими тоже равна 1, а сумма длин отрезков с концами разных цветов равна 400. Докажите, что можно провести прямую, отделяющую все красные точки от всех синих.
(
Ким А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Бесконечная строго возрастающая последовательность {an} положительных чисел удовлетворяет соотношению
an+2=(an+1−an)√n+n−√n
для каждого натурального n. Докажите, что для любого C>0 существует такое натуральное m(C) (зависящее от C), что am(C)>C.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)