Математикадан республикалық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Кел келген натурал сан үшін, келесі тұжырымды дәлелдеңіздер: осы санның барлық натурал бөлгіштерін, кез келген екі көрші тұрған бөлгіштердің біреуі екіншісіне бөлінетіндей, шеңбер бойымен қойып шығуға болады. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық рационал

$a$ сандарын табыңыздар:

$\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ теңдеуінің рационал

$x$ шешуі болмайтындай, шексіз көп оң рационал

$q$ саны бар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қиылысатын

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері

$\Omega$ шеңберінің ішінде орналасқан, және оны

$A$ және

$B$ нүктелерінде жанайды.

$AB$ түзуі екінші рет

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерін сәйкесінше

$A_1$ және

$B_1$ нүктерелінде қисын.

$A_1B_1X$ қисықсызықты үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$A_1B_1$ қабырғасын

$Z$ нүктесінде жанасын.

$\angle AXZ = \angle BXZ$ теңдігін көрсетіңіз.

( Ильясов С. )
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышында

$H$ нүктесі —

$AB$ табанының ортасы, ал

$M$ —

$BH$ кесіндісінің ортасы.

$HK$ —

$ACH$ үшбұрышының биіктігі, ал

$CM$ және

$BK$ түзулері

$L$ нүктесінде қиылысады.

$BC$ түзуіне

$B$ нүктесінде жүргізілген перпендикуляр мен

$LH$ түзуі

$N$ нүктесінде қиылысады.

$BCN$ бұрышының өлшемі

$ACB$ бұрышының өлшемінен екі есе кіші екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Жазықтықта 101 көк және 101 қызыл нүктелер таңдалған, және кез келген үш нүкте бір түзудің бойында жатпайды. Екі ұшы да қызыл болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары 1-ге тең (яғни

$101\cdot 100/2$ кесінділер қосындысы), екі ұшы да көк болатын барлық кесінділер ұзындықтарының қосындылары да 1-ге тең, ал ұштары әр түсті болатын кесінділер ұзындықтарының қосындысы 400-ге тең. Барлық қызыл нүктелер түзудің бір жағында, ал барлық көк нүктелер сол түзудің басқа жағында болатындай түзу жүргізуге болатынын дәлелдеңіз. ( Ким А. )
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Оң сандардан тұратын, қатаң өспелі және шексіз

$\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі кез келген натурал

$n$ үшін келесі шартты қанағаттандырады:

${{a}_{n+2}}={{({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})}^{\sqrt{n}}}+{{n}^{-\sqrt{n}}}.$ Кез келген

$C > 0$ үшін,

${{a}_{m(C)}} > C$ шарты орындалатын

$C$ -ға тәуелді

$m(C)$ саны табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

результаты