Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2017 год

Задача №1. Решите систему уравнений в положительных числах:

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2}{y^2} - xy = 2,\\ {y^2}{z^2} - 5yz = 6,\\ {x^2}{z^2} + 3xz = 18. \end{array} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. К окружности с центром в точке

$O$ из точки

$S$ проведены касательные

$SA$ и

$SB$ . На окружности выбрана точка

$C$ , отличная от точки

$A$ , таким образом, что прямые

$AC$ и

$SO$ параллельны. Докажите, что точка

$O$ лежит на прямой

$BC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №3. В клетки квадратной таблицы

$3\times 3$ вписаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Одно из этих чисел было выписано дважды, а остальные ровно по одному разу. Оказалось, что суммы чисел во всех строчках и столбцах одинаковые. Какое число вписано дважды? (Определите всевозможные значения.)
комментарий/решение(1)

Задача №4. Натуральное число

$n$ при делении на 3 дает остаток 1, а также количество его различных натуральных делителей, дающие при делении на 3 остаток 1, нечетно. Приведите пример такого числа

$n$ , у которого не менее 2017 различных натуральных делителей. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Круг радиуса 1 покрывает 9 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что среди этих точек можно отметить три, которые являются вершинами треугольника площади меньше 0,785. ( Кахарман Н. )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Пусть

$A=\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}$ и

$B=\frac{{{a}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}.$ Сравните числа

$A$ и

$B$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Даны

$R$ и

$r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника

$ABC$ , а

$I$ — центр вписанной окружности. Определим точку

${{A}_{1}}$ как точку, симметричную точке

$I$ относительно серединного перпендикуляра отрезка

$BC$ . Аналогично определим точки

${{B}_{1}}$ и

${{C}_{1}}$ . Докажите, что треугольники

$ABC$ и

${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ подобны, и найдите коэффициент подобия. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №8. На доске написаны натуральные числа

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ (не обязательно различные). За ход разрешается стереть любые два числа, и записать вместо них НОД и НОК стертых чисел, при условии, что НОД и НОК не совпадают со стертыми числами. Докажите, что количество возможных операции конечно и то, что результат (как множество чисел) не зависит от последовательности операции. ( Ким А. )
комментарий/решение