қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2017 год
Задача №1. Решите систему уравнений в положительных числах: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2}{y^2} - xy = 2,\\
{y^2}{z^2} - 5yz = 6,\\
{x^2}{z^2} + 3xz = 18.
\end{array} \right.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. К окружности с центром в точке $O$ из точки $S$ проведены касательные $SA$ и $SB$. На окружности выбрана точка $C$, отличная от точки $A$, таким образом, что прямые $AC$ и $SO$ параллельны. Докажите, что точка $O$ лежит на прямой $BC$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В клетки квадратной таблицы $3\times 3$ вписаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Одно из этих чисел было выписано дважды, а остальные ровно по одному разу. Оказалось, что суммы чисел во всех строчках и столбцах одинаковые. Какое число вписано дважды? (Определите всевозможные значения.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Натуральное число $n$ при делении на 3 дает остаток 1, а также количество его различных натуральных делителей, дающие при делении на 3 остаток 1, нечетно. Приведите пример такого числа $n$, у которого не менее 2017 различных натуральных делителей.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Круг радиуса 1 покрывает 9 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что среди этих точек можно отметить три, которые являются вершинами треугольника площади меньше 0,785.
(
Кахарман Н.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Пусть $A=\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}$ и $B=\frac{{{a}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}+\frac{{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\frac{{{c}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}.$ Сравните числа $A$ и $B$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Даны $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$, а $I$ — центр вписанной окружности. Определим точку ${{A}_{1}}$ как точку, симметричную точке $I$ относительно серединного перпендикуляра отрезка $BC$. Аналогично определим точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$. Докажите, что треугольники $ABC$ и ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ подобны, и найдите коэффициент подобия.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. На доске написаны натуральные числа ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ (не обязательно различные). За ход разрешается стереть любые два числа, и записать вместо них НОД и НОК стертых чисел, при условии, что НОД и НОК не совпадают со стертыми числами. Докажите, что количество возможных операции конечно и то, что результат (как множество чисел) не зависит от последовательности операции.
(
Ким А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение