қазақша
русскийҚалалық Жәутіков олимпиадасы, 8 сынып, 2017 жыл
Есеп №1. Теңдеулер жүйесін оң сандарда шешіңіз: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2}{y^2} - xy = 2,\\
{y^2}{z^2} - 5yz = 6,\\
{x^2}{z^2} + 3xz = 18.
\end{array} \right.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Центрі $O$ болатын шеңберге $S$ нүктесінен $SA$ және $SB$ жанамалары жүргізілген. Шеңбер бойынан $A$-дан өзге, $AC$ және $SO$ түзулері параллель болатындай $C$ нүктесі алынған. $O$ нүктесі $BC$ түзуінде жататынын дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $3\times 3$ шаршы кестесінің торларына 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 немесе 8 саны жазылған. Осы сандардың біреуі екі рет, қалғандары бір реттен жазылған. Сонда әр бағандағы және әр жолдағы сандардың қосындысы бірдей болды. Қандай сан екі рет жазылды? (Барлық мүмкін мәндерді анықта.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Натурал $n$ санын 3-ке бөлгенде 1 қалдық береді, сондай-ақ оның 3-ке бөлгенде 1 қалдық беретін әр түрлі натурал бөлгіштерінің саны тақ. Осындай, әр түрлі натурал бөлгіштерінің саны 2017-ден кем болмайтындай $n$ санына мысал келтір.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Радиусы 1-ге тең дөңгелектің ішінде ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 9 нүкте жатыр. Сол нүктелердің ішінен ауданы 0,785-тен кіші болатын үшбұрыштың төбелері болатындай үш нүкте табылатынын дәлелдеңіз.
(
Кахарман Н.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $A=\dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+\dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}$ және $B=\dfrac{{{a}^{3}}}{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}+\dfrac{{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\dfrac{{{c}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}$ болсын. $A$ мен $B$ сандарын салыстырыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $ABC$ үшбұрышына сырттай және іштей сызылған шеңберлердің радиустары сәйкесінше $R$ және $r$, ал $I$ — оған іштей сызылған шеңбердің центрі болсын. ${{A}_{1}}$ арқылы $I$-дің $BC$ қабырғасының орта перпендикулярына қарағандағы симметриялы нүктені белгілейік. Дәл сол сияқты ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелерін де анықтайық. $ABC$ және ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ үшбұрыштарының ұқсас екенін дәлелдеңіз және ұқсастық коэффициентін табыңыз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Тақтада ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ сандары жазылған (әртүрлі болуы міндетті емес). Әр жүрісте келесі операцияны орындауға болады: егер жазылған екі санның ешқайсысы сол екеуінің ЕҮОБ-і мен ЕКОЕ-нің ешқайсысына тең болмаса, онда оларды өшіріп, орнына сол ЕҮОБ пен ЕКОЕ-ті жазуға рұқсат. Осындай операцияларды қолданғанда жүрістер саны шектеулі екенін және соңғы нәтиже (пайда болған сандар жиыны) жүрістер тізбегіне тәуелсіз екенін дәлелде.
(
Ким А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение