Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2017 год

Даны $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$, а $I$ — центр вписанной окружности. Определим точку ${{A}_{1}}$ как точку, симметричную точке $I$ относительно серединного перпендикуляра отрезка $BC$. Аналогично определим точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$. Докажите, что треугольники $ABC$ и ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ подобны, и найдите коэффициент подобия. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Из условия, а именно то что $A_{1},B_{1},C_{1}$ симметричны относительно серединных перпендикуляров следует то , что $A_{1}I || BC , \ \ B_{1}I || AC , \ \ C_{1}I || AB$ $(1)$ , тогда четырехугольники $AC_{1}IB , \ \ AB_{1}IC , \ \ BA_{1}IC$ - равнобедренные трапеций , так же треугольники $A_{1}OI , \ \ B_{1}OI , \ \ C_{1}OI$ - равнобедренные , значит точки $A_{1},B_{1},C_{1},I$ лежат на одной окружности с центром в точке $O$ , тогда из $\angle A_{1}B_{1}C_{1} = 180 ^{\circ}-\angle A_{1}IC_{1} = 180^{\circ} - \angle ABC$ , $\angle B_{1}A_{1}C_{1} = \angle B_{1}IC_{1} = \angle BAC$ ( равенства следует из $(1)$). То есть треугольники $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ подобны. Найдем коэффициент подобия $k=\dfrac{B_{1}C_{1}}{BC} = \dfrac{IO}{R}$ , здесь можно применить формулу Эйлера , расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равна $IO=\sqrt{R(R-2r)}$ откуда $k=\sqrt{1-\dfrac{2r}{R}}$.