Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2017 год

К окружности с центром в точке $O$ из точки $S$ проведены касательные $SA$ и $SB$. На окружности выбрана точка $C$, отличная от точки $A$, таким образом, что прямые $AC$ и $SO$ параллельны. Докажите, что точка $O$ лежит на прямой $BC$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

$$BC\cap SA= R$$

$$T\in RS , BT \parallel SO$$

$$AC\parallel SO \parallel BT \Rightarrow \angle RAC =\angle RTB= \angle RSO \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \angle TRB=\gamma \Rightarrow \angle RCA = \angle ROS= \angle RBT= 180^o- (\gamma+\alpha) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \triangle RCA \sim \triangle ROS \sim \triangle RBT\Rightarrow C,O\in RB$$