Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2017 год

Круг радиуса 1 покрывает 9 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что среди этих точек можно отметить три, которые являются вершинами треугольника площади меньше 0,785. ( Кахарман Н. )

Комментарий/решение

Если разбить круг на четыре равных сектора при помощи двух диаметров перпендикулярных друг другу , то по принципу Дирихле хотя бы в одном из них будет не менее 3 точек , но максимальная площадь одного сектора $S=\dfrac{\pi}{4}$ которая численно приблизительно равна $0.785$ , откуда и следует утверждение задачи .