Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2017 год

В клетки квадратной таблицы $3\times 3$ вписаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Одно из этих чисел было выписано дважды, а остальные ровно по одному разу. Оказалось, что суммы чисел во всех строчках и столбцах одинаковые. Какое число вписано дважды? (Определите всевозможные значения.)

Комментарий/решение

$$\mathbb{S}=1+2+3+...+7+8+X=36+X\Rightarrow S\vdots 3\Rightarrow X\vdots 3$$

$$\forall n\in \mathbb{N}: X=3n$$

$$1) X=3 \Rightarrow \left\| \begin{gathered} 814\\ 256 \\ 373 \\ \end{gathered} \right\|$$

$$2) X=6 \Rightarrow \left\| \begin{gathered} 815\\ 473\\ 266 \\ \end{gathered} \right\|$$