Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс
Задача №1. Для положительных вещественных чисел a, b и c докажите неравенство
3√ab+5√bc+7√ca>52.
(
Аубекеров Д.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №2. Множество Φ состоит из конечного числа точек на плоскости. Расстояние между любыми двумя точками из Φ по крайней мере √2. Известно, что вырезанным из бумаги правильным треугольником со стороной 3 можно накрыть все точки множества Φ. Из какого наибольшего количества точек может состоять Φ?
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Задача №3. Пусть p -- простое число вида 4k+1, а mn -- такая несократимая дробь, что p−2∑a=21ap−12+ap+12=mn. Докажите, что m+n делится на p.
(
Жанахметов С.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите все натуральные n, k, a1,a2,…,ak такие, что nk+1+1 делится на (na1+1)(na2+1)…(nak+1).
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Дан клетчатый прямоугольник размером n×m.
Всегда ли можно отметить 3 или 4 узла прямоугольника так, что на каждой прямой, содержащей сторону прямоугольника, лежал хотя бы один из отмеченных узлов, а несамопересекающийся многоугольник с вершинами в этих узлах имеет площадь, равную 12min
(
Аханов Н.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Касательная прямая l к описанной окружности остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB, BC и CA в точках C', A' и B' соответственно. Пусть H ---ортоцентр треугольника ABC. На прямых A'H, B'H и C'H соответственно отмечены точки A_1, B_1 и C_1 (отличные от H) такие, что AH=AA_1, BH=BB_1 и CH=CC_1. Доказать, что окружности, описанные около треугольников ABC и A_1B_1C_1, касаются.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)