Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс

Задача №1.  Для положительных вещественных чисел $a$, $b$ и $c$ докажите неравенство $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[5]{\dfrac{b}{c}}+\sqrt[7]{\dfrac{c}{a}}>\dfrac{5}{2}.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(5)

---

Задача №2.  Множество $\Phi$ состоит из конечного числа точек на плоскости. Расстояние между любыми двумя точками из $\Phi$ по крайней мере $\sqrt{2}$. Известно, что вырезанным из бумаги правильным треугольником со стороной $3$ можно накрыть все точки множества $\Phi$. Из какого наибольшего количества точек может состоять $\Phi$? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(9)

---

Задача №3.  Пусть $p$ -- простое число вида $4k+1$, а $\dfrac{m}{n}$ -- такая несократимая дробь, что $\displaystyle\sum_{a=2}^{p-2}{\dfrac{1}{a^{\frac{p-1}{2}}+a^{\frac{p+1}{2}}}}=\dfrac{m}{n}.$ Докажите, что $m+n$ делится на $p$. ( Жанахметов С. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Найдите все натуральные $n$, $k$, $a_1, a_2,\ldots, a_k$ такие, что $n^{k+1}+1$ делится на $(na_1+1)(na_2+1)\ldots(na_k+1)$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Дан клетчатый прямоугольник размером $n\times m$. Всегда ли можно отметить $3$ или $4$ узла прямоугольника так, что на каждой прямой, содержащей сторону прямоугольника, лежал хотя бы один из отмеченных узлов, а несамопересекающийся многоугольник с вершинами в этих узлах имеет площадь, равную $\dfrac{1}{2}\min \left ( \text{НОД}(n, m), \dfrac{n+m}{\text{НОД}(n, m)} \right)?$ ( Аханов Н. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Касательная прямая $l$ к описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ пересекает прямые $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C'$, $A'$ и $B'$ соответственно. Пусть $H$ ---ортоцентр треугольника $ABC$. На прямых $A'H$, $B'H$ и $C'H$ соответственно отмечены точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ (отличные от $H$) такие, что $AH=AA_1$, $BH=BB_1$ и $CH=CC_1$. Доказать, что окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, касаются. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

---