Республиканская олимпиада по математике, 2019 год, 11 класс

Множество $\Phi$ состоит из конечного числа точек на плоскости. Расстояние между любыми двумя точками из $\Phi$ по крайней мере $\sqrt{2}$. Известно, что вырезанным из бумаги правильным треугольником со стороной $3$ можно накрыть все точки множества $\Phi$. Из какого наибольшего количества точек может состоять $\Phi$? ( Ильясов С. )

Комментарий/решение

http://respa.daryn.kz/files/rus/math9-1-sol.pdf

Как я понимаю, это решение 3 задачи, но вы это написали под 2 задачу

Слишком быстро скопировал что перепутал задачи

AgybaevAnuar Вас не спрашивали.

Даал

Взяял

ХАХАХАХАХАХ

Ответ: $6$

Пример: Возьмем $3$ точки как вершины треугольника а остальные $3$ точки как середины этих сторон, при этом очевидно что расстояние между любыми двумя не меньше чем $\sqrt{2}$.

Оценка: Пусть точек на плоскости хотя бы $7$ тогда рассмотрим произвольную вершину $А$. Тогда так как точек на плоскости хотя бы $7$ у нас есть хотя бы $5$ треугольников с вершиной $А$ и общей стороной. Заметим что площадь треугольника образованный $3$ точками из $\Phi$ хотя бы $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда площадь многоугольника образованного точками из $\Phi$ хотя бы $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ так как у нас хотя бы $5$ треугольников. Но площадь равностороннего треугольника со стороной $3$ равна $\frac{9\sqrt{3}}{4}$, что меньше чем $\frac{5\sqrt{3}}{2}$, откуда получаем противоречие так как треугольник со стороной $3$ накрывает все точки из $\Phi$, откуда площадь треугольника не меньше чем площадь многоугольника с вершинами из $\Phi$.

Нет, треугольник образованный вершинами из Ф не всегда больше корень $3$ деленное на $2$. Можно взять треугольник, где между 2 точками расстояние чуток больше 2 корень 2 а 3 точка максимально близко к отрезку этих двух точек

Ответ: 6

Достроим правильные треугольники со стороною на кварк меньше чем корень 2 из каждой вершины чтобы 2 оставишеся вершины были на сторонах. Тогда в этих треугольниках макс. 1 точка, так как в правильном треугольнике со стороною меньше Х нельзя найти отрезок длиною Х. Тогда в оставшейся части треугольника хотябы 4 точки. Очевидно, что прямые из точек, что мы достроили для треугольника со стороной меньше чем корень 2 образуют правильные тругольник со стороною меньше чем 2 и в нём лежат 4 точки из Ф, тогда увеличим масштаб относительно центра так, чтобы сторона треугольника была 2, если докажем, что точек не может быть 4 для этого случая, то и для того работать будет. Тогда поделим треугольник на такие 3 части, которые являются четырехугольниками с вершинами: вершина треугольника, середина стороны, середина стороны, центр треугольника. По принципу дирихле, в одном из них хотябы 2 точки. Легко понять, что в такой фигуре самое длинное расстояние это от центра треугольника до вершины треугольника. Посчитать его длину несложно и она равна: $\frac{2}{\sqrt{3}}$ что очевидно меньше, чем $\sqrt{2}$, противоречие. Значит ответ 6

Пример: вершины+середины. Щас лень нормально расписывать, потом изменю и нормально распишу все.ВВедите тескт...