Processing math: 16%

Аубекеров Д.


Задача №1.  Докажите, что для неотрицательных чисел x, y, z, удовлетворяющих условию xy+yz+zx=3, верно неравенство (x2+3)(y2+3)(z2+3) ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Сумма положительных чисел a, b и c равна 3. Докажите неравенство \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{a^2}(8b + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{b^2}(8c + 1)}}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{{3{c^2}(8a + 1)}}}} \ge 1. ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №3.  Сумма обратных величин положительных чисел a, b и c равна 1. Докажите неравенство \dfrac{b+c}{a+bc}+\dfrac{a+c}{b+ac}+\dfrac{b+a}{c+ab}\ge\dfrac{12}{a+b+c-1}. ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(8) олимпиада
Задача №4.  Для положительных вещественных чисел a, b и c докажите неравенство \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[5]{\dfrac{b}{c}}+\sqrt[7]{\dfrac{c}{a}}>\dfrac{5}{2}. ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №5.  Пусть a,b,c — стороны треугольника с периметром 1, S — площадь этого треугольника. Докажите неравенство \sqrt {\frac{{3a}}{{b + c - a}}} + \sqrt {\frac{{3b}}{{a + c - b}}} + \sqrt {\frac{{3c}}{{a + b - c}}} \le \frac{1}{{4S}}. ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №6.  Положительные числа a, b, c таковы, что \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geqslant 3. Докажите, что \dfrac{a^{3}}{a^{2}+b}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+c}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+a} \geqslant \dfrac{3}{2}. ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(7) олимпиада