Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2015 жыл
xy+yz+zx=3 шартын қанағаттандыратын теріс емес x, y және z сандары үшін (x2+3)(y2+3)(z2+3)≥21(x+y+z)+1 теңсіздігін дәлелдеңіздер.
(
Аубекеров Д.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Обозначим левую часть неравенства через A. Заметим, что x2+3=x2+xy+yz+xz=(x+y)(x+z). Аналогично y2+3=(x+y)(y+z), z2+3=(y+z)(x+z). Следовательно,
A=((x+y)(y+z)(x+z))2=((x+y+z)(xy+yz+xz)−xyz)2=(3(x+y+z)−xyz)2. Заметим также 3=xy+yz+xz≥33√(xyz)2, откуда xyz≤1 и (x+y+z)2≥3(xy+yz+xz)=9, откуда x+y+z≥3.
Пусть s=x+y+z. Тогда верны эквивалентные неравенства
(3s−1)2≥21s+1⇔9s(s−3)≥0,
так как s≥3.
Поэтому A=(3s−xyz)2≥(3s−1)2≥21s+1.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.