Processing math: 100%

Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2015 жыл


xy+yz+zx=3 шартын қанағаттандыратын теріс емес x, y және z сандары үшін (x2+3)(y2+3)(z2+3)21(x+y+z)+1 теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( Аубекеров Д. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Обозначим левую часть неравенства через A. Заметим, что x2+3=x2+xy+yz+xz=(x+y)(x+z). Аналогично y2+3=(x+y)(y+z), z2+3=(y+z)(x+z). Следовательно, A=((x+y)(y+z)(x+z))2=((x+y+z)(xy+yz+xz)xyz)2=(3(x+y+z)xyz)2. Заметим также 3=xy+yz+xz33(xyz)2, откуда xyz1 и (x+y+z)23(xy+yz+xz)=9, откуда x+y+z3.
Пусть s=x+y+z. Тогда верны эквивалентные неравенства (3s1)221s+19s(s3)0, так как s3. Поэтому A=(3sxyz)2(3s1)221s+1.