Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2015 год

Задача №1. Первый ученик расставил числа

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$2015$ по кругу и выписал в тетрадь неотрицательные разности всех пар соседних чисел. Второй ученик должен выбрать из этих разностей наименьшую. Ему интересно, какое самое большое число он может получить? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Высоты

$AA_1$ и

$CC_1$ , остроугольного треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$H$ . На высоте

$AA_1$ отмечена точка

$P$ такая, что

$A_1P=AH$ , на высоте

$CC_1$ , отмечена точка

$Q$ такая, что

$C_1Q=CH$ . Докажите, что перпендикуляры к прямым

$AA_1$ и

$CC_1$ , проходящие через точки

$P$ и

$Q$ соответственно, пересекаются на описанной окружности треугольника

$ABC$ . ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что для неотрицательных чисел

$x$ ,

$y$ ,

$z$ , удовлетворяющих условию

$xy+yz+zx=3$ , верно неравенство

$\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{z^2} + 3} \right) \geqslant 21\left( {x + y + z} \right) + 1.$ ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Определите множество целых значений выражения

$\dfrac{{a + 1}}{b} + \dfrac{{b + 1}}{a}$ для натуральных

$a$ и

$b$ . ( Фольклор )
комментарий/решение(1)