Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2015 жыл

Есеп №1. Бірінші оқушы

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$2015$ сандарын шеңбер бойымен қойып шығып, өз дәптеріне көрші тұрған сандардың теріс емес айырмаларын жазып шықты. Екінші оқушы осы сандардан ең кішісін таңдап алу керек. Ол таңдап алған санның ең үлкен мәні неге тең болуы мүмкін? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$AA_1$ және

$CC_1$ биіктіктері

$H$ нүктесінде қиылысады.

$AA_1$ биіктігінен

$A_1P=AH$ болатындай

$P$ , ал

$CC_1$ биіктігінен

$C_1Q=CH$ болатындай

$Q$ нүктесі белгіленген.

$P$ және

$Q$ нүктелерінен сәйкесінше

$AA_1$ және

$CC_1$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$xy+yz+zx=3$ шартын қанағаттандыратын теріс емес

$x$ ,

$y$ және

$z$ сандары үшін

$\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{z^2} + 3} \right) \ge 21\left( {x + y + z} \right) + 1$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( Аубекеров Д. )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$a$ және

$b$ натурал сандары берілген.

$\dfrac{{a + 1}}{b} + \dfrac{{b + 1}}{a}$ өрнегінің қабылдай алатын бүтін мәндерін алсақ, сол бүтін мәндер жиыны неге тең? ( Фольклор )
комментарий/решение(1)