Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2015 год

Определите множество целых значений выражения $\dfrac{{a + 1}}{b} + \dfrac{{b + 1}}{a}$ для натуральных $a$ и $b$. ( Фольклор )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=k$, тогда ${{a}^{2}}+a\left( 1-bk \right)+b\left( b+1 \right)=0$. Зафиксируем целое значение $k$ и будем рассматривать все натуральные решения этого уравнения. Среди них найдется решение $\left( {{a}_{0}};\,\,{{b}_{0}} \right)$ c наименьшей суммой ${{a}_{0}}+{{b}_{0}}$ (их может быть несколько). Т.к. уравнение симметрично относительно $a$ и $b$, то можем считать, что ${{a}_{0}}\ge {{b}_{0}}$. Тогда зафиксируем значение ${{b}_{0}}$ и рассмотрим уравнение ${{a}^{2}}+a\left( 1-{{b}_{0}}k \right)+{{b}_{0}}\left( {{b}_{0}}+1 \right)=0$ как квадратное относительно $a$.
Оно имеет хотя бы одно решение ${{a}_{0}}$ и сумма его корней -- целое число, значит второй корень также целый. По теореме Виета из произведения найдем второй корень ${{a}_{1}}=\frac{{{b}_{0}}\left( {{b}_{0}}+1 \right)}{{{a}_{0}}}$ -- положительное и целое число. Если ${{a}_{0}}>{{b}_{0}}$, то ${{a}_{1}}=\frac{{{b}_{0}}\left( {{b}_{0}}+1 \right)}{{{a}_{0}}}\le \frac{\left( {{a}_{0}}-1 \right){{a}_{0}}}{{{a}_{0}}}={{a}_{0}}-1<{{a}_{0}}$ и тогда $\left( {{a}_{1}};\,\,{{b}_{0}} \right)$ -- новая пара решений того же уравнения с еще меньшей суммой: ${{a}_{1}}+{{b}_{0}}<{{a}_{0}}+{{b}_{0}}$. Противоречие.
Значит, ${{a}_{0}}={{b}_{0}}$, тогда $\frac{2\left( {{a}_{0}}+1 \right)}{{{a}_{0}}}=k$. Т.к. ${{a}_{0}}$ взаимно просто с ${{a}_{0}}+1$, ${{a}_{0}}=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right.$, значит $k=\left[ \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ \end{matrix} \right.$.