Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2015 жыл
Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының AA1 және CC1 биіктіктері H нүктесінде қиылысады. AA1 биіктігінен A1P=AH болатындай P, ал CC1 биіктігінен C1Q=CH болатындай Q нүктесі белгіленген. P және Q нүктелерінен сәйкесінше AA1 және CC1 түзулеріне түсірілген перпендикулярлар ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңіздер.
(
Ильясов С.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Понятно, что точка H лежит внутри треугольника и углы ∠C1BA1=∠C1HA острые. Пусть BD --- диаметр описанной окружности. Докажем, что данные прямые пересекаются в точке D. Так как AD⊥AB и CH⊥AB, то AD∥CH. Аналогично, DC∥AH. Следовательно, ADCH --- параллелограмм. Опустим перпендикуляр DP1 на прямую CC1. Так как AH=CD, ∠AHC1=∠DCP1, то прямоугольные треугольники AHC1 и DCP равны и точка P1 лежит на отрезке CH. Значит, C1H=CP1 т.е. точки P1 и P совпадают. Это говорит о том, что перпендикуляр к прямой AA1 в точке P проходит через D. Аналогично, перпендикуляр к прямой CC1 в точке Q также проходит через D.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.