Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2015 жыл


Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының AA1 және CC1 биіктіктері H нүктесінде қиылысады. AA1 биіктігінен A1P=AH болатындай P, ал CC1 биіктігінен C1Q=CH болатындай Q нүктесі белгіленген. P және Q нүктелерінен сәйкесінше AA1 және CC1 түзулеріне түсірілген перпендикулярлар ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( Ильясов С. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Понятно, что точка H лежит внутри треугольника и углы C1BA1=C1HA острые. Пусть BD --- диаметр описанной окружности. Докажем, что данные прямые пересекаются в точке D. Так как ADAB и CHAB, то ADCH. Аналогично, DCAH. Следовательно, ADCH --- параллелограмм. Опустим перпендикуляр DP1 на прямую CC1. Так как AH=CD, AHC1=DCP1, то прямоугольные треугольники AHC1 и DCP равны и точка P1 лежит на отрезке CH. Значит, C1H=CP1 т.е. точки P1 и P совпадают. Это говорит о том, что перпендикуляр к прямой AA1 в точке P проходит через D. Аналогично, перпендикуляр к прямой CC1 в точке Q также проходит через D.