Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2021 год
Комментарий/решение:
Прикольная задача, странно что её решило не так много людей.
Решение:
Так как в любом треугольнике можно вписать окружность, можно заметить что окружность делит стороны в таком порядке: a=x+y,b=y+z,c=z+x
На самом деле такая замена часто используется в таких задачах. А S можно вычислить по формуле Герона:(p - полупериметр)S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√12xyz
Давайте теперь посмотрим во что преобразилась наша задача:(!)14√12xyz≥∑√3(x+y)2z⇒1√8xyz≥∑√3(x+y)2z⇒1≥∑√12(x+y)xy ∑(x+y)+12xy2≥∑√12xy(x+y)(AM≥GM) (!)1≥∑(x+y)+12xy2 1=x+y+z+12⇒(!)12≥6(xy+yz+zx)
Но так как 1=(2x+2y+2z)2, нам остается лишь доказать что:4x2+4y2+4z2+8xy+8yz+8zx≥12(xy+yz+zx)→4x2+4y2+4z2≥4xy+4yz+4xz, а это приводит нас к известному неравенству! (AM≥GM)
Равенство приходится на a=b=c=1/3.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.