Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2021 год


Пусть a,b,c — стороны треугольника с периметром 1, S — площадь этого треугольника. Докажите неравенство 3ab+ca+3ba+cb+3ca+bc14S. ( Аубекеров Д. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   4
3 года 1 месяца назад #

Прикольная задача, странно что её решило не так много людей.

Решение:

Так как в любом треугольнике можно вписать окружность, можно заметить что окружность делит стороны в таком порядке: a=x+y,b=y+z,c=z+x

На самом деле такая замена часто используется в таких задачах. А S можно вычислить по формуле Герона:(p - полупериметр)S=p(pa)(pb)(pc)=12xyz

Давайте теперь посмотрим во что преобразилась наша задача:(!)1412xyz3(x+y)2z18xyz3(x+y)2z112(x+y)xy (x+y)+12xy212xy(x+y)(AMGM) (!)1(x+y)+12xy2 1=x+y+z+12(!)126(xy+yz+zx)

Но так как 1=(2x+2y+2z)2, нам остается лишь доказать что:4x2+4y2+4z2+8xy+8yz+8zx12(xy+yz+zx)4x2+4y2+4z24xy+4yz+4xz, а это приводит нас к известному неравенству! (AMGM)

Равенство приходится на a=b=c=1/3.

  2
3 года назад #

Стандартная задача. Очень удивлен, что выбрали эту задачу.

xy(x+y)112 можно доказать и так:

(xyx+y)2xy(x+y)=xy(x+y+z)23=112

  0
3 года назад #

согласен, рад что вы решили модифицировать мое решение! ^^