Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2021 год
Задача №1. Число назовем «нефакториальным», если оно не представимо в виде конечной суммы различных факториалов целых неотрицательных чисел. Докажите, что существует бесконечно много нефакториальных натуральных чисел.
(
Шынтас Н.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №2. Пусть a,b,c — стороны треугольника с периметром 1, S — площадь этого треугольника. Докажите неравенство √3ab+c−a+√3ba+c−b+√3ca+b−c≤14S.
(
Аубекеров Д.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Дано некоторое натуральное число n. Город имеет форму некоторой связной клетчатой фигуры из n клеток, в каждой клетке которой живет ровно один человек. Однажды один человек в городе заболел коронавирусом. Затем каждый день происходило следующее: все, болевшие в предыдущий день, выздоравливают, а все, не болевшие, имевшие в предыдущий день хотя бы одного болевшего соседа по стороне, заболевают. Обозначим как f(n) — наибольшее возможное отношение числа заболевших к числу здоровых в некоторый момент времени, при данном n и всевозможных формах города и позиции первого заболевшего. Найдите f(n) как функцию от n.
(
Абдрахманов А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Γ. Диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Пусть ω1 и ω2 — описанные окружности треугольников AEB и CED, соответственно. На дуге AB, не содержащей точку E, окружности ω1 выбрана точка P, а на дуге CD, не содержащей точку E, окружности ω2 выбрана точка Q так, что ∠AEP=∠QED. Отрезок PQ пересекает Γ в точках X и Y. Докажите, что PX=QY.
(
Шакиев А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)