Шынтас Н.
Задача №1. Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. В этом треугольнике проведены высоты AD,BE и CF. Прямая AD пересекает Ω вторично в точке P, а прямые PF и PE пересекают Ω вторично в точках R и Q соответственно. Пусть O1 и O2 — центры описанных окружностей треугольников BFR и CEQ соответственно. Докажите, что прямая O1O2 делит отрезок EF пополам. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Число назовем «нефакториальным», если оно не представимо в виде конечной суммы различных факториалов целых неотрицательных чисел. Докажите, что существует бесконечно много нефакториальных натуральных чисел. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №3. Существуют ли две ограниченные последовательности a1,a2,… и b1,b2,… такие, что для любых натуральных m>n выполнено хотя бы одно из двух условий |am−an|>1√n или|bm−bn|>1√n? ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4. Дан вписанный выпуклый четырехугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей O. M и N — середины сторон AD и BC соответственно. На дуге AB, не содержащей точек C и D, описанной окружности ABCD отметили точку S такую, что ∠SMA=∠SNB. Пусть T — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми SM, SN, AB и CD. Докажите, что точки S, O, T лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5. В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD, BE и CF. P и Q лежат на отрезках AB и AC соответственно так, что прямая PQ параллельна BC. Окружности построенные на BQ и CP, как на диаметрах, пересекаются в точках R и T (R является ближе к A чем T). Пусть CM и BN — высоты в треугольнике BCR. Докажите, что прямые FM, NE и AD пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №6. В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD, BE и CF. P и Q лежат на отрезках AB и AC соответственно так, что прямая PQ параллельна BC. Окружности построенные на BQ и CP, как на диаметрах, пересекаются в точках R и T (R является ближе к A чем T). Пусть CM и BN — высоты в треугольнике BCR. Докажите, что прямые FM, NE и AD пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7. Дан вписанный выпуклый четырехугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей O. M и N — середины сторон AD и BC соответственно. На дуге AB, не содержащей точек C и D, описанной окружности ABCD отметили точку S такую, что ∠SMA=∠SNB. Пусть T — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми SM, SN, AB и CD. Докажите, что точки S, O, T лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8. В окружность ω с центром O вписан остроугольный треугольник ABC (AB≠AC). Точка M — середина стороны BC. Касательная прямая к ω в точке A пересекает продолжение стороны BC в точке D. Окружность с центром в точке M и с радиусом MA пересекает продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Пусть X такая точка, что BX∥KM и CX∥LM. Докажите, что точки X, D, O лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №9. В треугольнике ABC (AB≠AC), в котором все углы больше 45∘, проведена высота AD. Пусть ω1 и ω2 — окружности с диаметрами AC и AB соответственно. Биссектриса угла ADB вторично пересекает ω1 в точке P, а бисектрисса угла ADC вторично пересекает ω2 в точке Q. Прямая AP вторично пересекает ω2 в точке R. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQR лежит на прямой BC. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(2) олимпиада