Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Шынтас Н.


Задача №1.  Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. В этом треугольнике проведены высоты AD,BE и CF. Прямая AD пересекает Ω вторично в точке P, а прямые PF и PE пересекают Ω вторично в точках R и Q соответственно. Пусть O1 и O2 — центры описанных окружностей треугольников BFR и CEQ соответственно. Докажите, что прямая O1O2 делит отрезок EF пополам. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Число назовем «нефакториальным», если оно не представимо в виде конечной суммы различных факториалов целых неотрицательных чисел. Докажите, что существует бесконечно много нефакториальных натуральных чисел. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №3.  Существуют ли две ограниченные последовательности a1,a2, и b1,b2, такие, что для любых натуральных m>n выполнено хотя бы одно из двух условий |aman|>1n или|bmbn|>1n? ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  Дан вписанный выпуклый четырехугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей O. M и N — середины сторон AD и BC соответственно. На дуге AB, не содержащей точек C и D, описанной окружности ABCD отметили точку S такую, что SMA=SNB. Пусть T — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми SM, SN, AB и CD. Докажите, что точки S, O, T лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5.  В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD, BE и CF. P и Q лежат на отрезках AB и AC соответственно так, что прямая PQ параллельна BC. Окружности построенные на BQ и CP, как на диаметрах, пересекаются в точках R и T (R является ближе к A чем T). Пусть CM и BN — высоты в треугольнике BCR. Докажите, что прямые FM, NE и AD пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №6.  В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD, BE и CF. P и Q лежат на отрезках AB и AC соответственно так, что прямая PQ параллельна BC. Окружности построенные на BQ и CP, как на диаметрах, пересекаются в точках R и T (R является ближе к A чем T). Пусть CM и BN — высоты в треугольнике BCR. Докажите, что прямые FM, NE и AD пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7.  Дан вписанный выпуклый четырехугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей O. M и N — середины сторон AD и BC соответственно. На дуге AB, не содержащей точек C и D, описанной окружности ABCD отметили точку S такую, что SMA=SNB. Пусть T — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми SM, SN, AB и CD. Докажите, что точки S, O, T лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8.  В окружность ω с центром O вписан остроугольный треугольник ABC (ABAC). Точка M — середина стороны BC. Касательная прямая к ω в точке A пересекает продолжение стороны BC в точке D. Окружность с центром в точке M и с радиусом MA пересекает продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Пусть X такая точка, что BXKM и CXLM. Докажите, что точки X, D, O лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №9.  В треугольнике ABC (ABAC), в котором все углы больше 45, проведена высота AD. Пусть ω1 и ω2 — окружности с диаметрами AC и AB соответственно. Биссектриса угла ADB вторично пересекает ω1 в точке P, а бисектрисса угла ADC вторично пересекает ω2 в точке Q. Прямая AP вторично пересекает ω2 в точке R. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQR лежит на прямой BC. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(2) олимпиада