18-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2022 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Ненулевые многочлены

$P(x)$ ,

$Q(x)$ и

$R(x)$ с вещественными коэффициентами удовлетворяют тождествам

$P(x)+Q(x)+R(x)=P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))=0.$ Докажите, что степени всех трёх многочленов чётны. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. На плоскости нарисовано 10-этажное 2-дерево: отмечена вершина

$A_1$ , она соединена отрезками с двумя вершинами

$B_1$ и

$B_2$ , каждая из которых соединена отрезками с двумя из четырех вершин

$C_1, C_2, C_3, C_4$ (каждая из вершин

$C_i$ соединена ровно с одной вершиной

$B_j$ ); и так далее вплоть до 512 вершин

$J_1,\dots,J_{512}$ . Каждая вершина

$J_1,\dots,J_{512}$ покрашена в один из двух цветов: голубой или золотой. Рассматриваются всевозможные перестановки

$f$ множества вершин нарисованного дерева, такие что (i) если вершины

$X$ и

$Y$ были соединены отрезком, то вершины

$f(X)$ и

$f(Y)$ также соединены отрезком, и (ii) если вершина

$X$ была покрашена в какой-то цвет, то вершина

$f(X)$ покрашена в тот же цвет. Для какого максимального

$M$ заведомо найдутся хотя бы

$M$ различных рассматриваемых перестановок?

( Г. Челноков )
комментарий/решение(1)

Задача №3. В параллелограмме

$ABCD$ с острым углом

$A$ на отрезке

$AD$ отмечена точка

$N$ , а на отрезке

$CN$ — точка

$M$ так, что

$AB=BM=CM$ . Точка

$K$ симметрична точке

$N$ относительно прямой

$MD$ . Прямая

$MK$ пересекает отрезок

$AD$ в точке

$L$ . Пусть

$P$ — общая точка описанных окружностей треугольников

$AMD$ и

$CNK$ , причем точки

$A$ и

$P$ лежат по одну сторону от прямой

$MK$ . Докажите, что

$\angle CPM=\angle DPL$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$AB$ , а

$I$ — центр вписанной окружности. Точка

$A_1$ симметрична точке

$A$ относительно прямой

$BI$ , а точка

$B_1$ симметрична точке

$B$ относительно прямой

$AI$ . Пусть

$N$ — середина отрезка

$A_1B_1$ . Докажите, что

$IN > IM$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан многочлен

$f(x)$ с вещественными коэффициентами степени выше 1. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде

$f(n+1)+\dots+f(n+k)$ с натуральными

$n$ и

$k$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Существуют ли две ограниченные последовательности

$a_1, a_2, \ldots$ и

$b_1, b_2, \ldots$ такие, что для любых натуральных

$m>n$ выполнено хотя бы одно из двух условий

$|a_m-a_n|>{1\over\sqrt{n}}$ или

$|b_m-b_n|>{1\over\sqrt{n}}?$ ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1)

результаты