18-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2022 год
Комментарий/решение:
Рассмотрим точки Xi на координатной плоскости с координатами (ai,bi). Проведем в точке Xi окружность с радиусом 12√i. Из ограниченности, все эти точки лежат внутри квадрата с какой то конечной площадью, увеличим этот квадрат на 12 по краям, чтобы все внутренности кругов лежали внутри. Пусть какие то две окружности пересекаются, тогда рассмотрим их центры - Xn и Xm, где m>n. Расстояние между этими точками равно √(am−an)2+(bm−bn)2>1√n и так как окружности пересекаются, то оно меньше 12√n+12√m<1√n, откуда противоречие. Значит никакие две окружности не пересекаются, тогда общая площадь занимаемая ими будет равна π4(1+12+13+…), что может быть больше любого наперед заданного числа, противореча тому что все круги лежат в квадрате конечной площади.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.