Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

18-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2022 год


Существуют ли две ограниченные последовательности a1,a2, и b1,b2, такие, что для любых натуральных m>n выполнено хотя бы одно из двух условий |aman|>1nили|bmbn|>1n? ( Шынтас Н. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  7
2 года 7 месяца назад #

Рассмотрим точки Xi на координатной плоскости с координатами (ai,bi). Проведем в точке Xi окружность с радиусом 12i. Из ограниченности, все эти точки лежат внутри квадрата с какой то конечной площадью, увеличим этот квадрат на 12 по краям, чтобы все внутренности кругов лежали внутри. Пусть какие то две окружности пересекаются, тогда рассмотрим их центры - Xn и Xm, где m>n. Расстояние между этими точками равно (aman)2+(bmbn)2>1n и так как окружности пересекаются, то оно меньше 12n+12m<1n, откуда противоречие. Значит никакие две окружности не пересекаются, тогда общая площадь занимаемая ими будет равна π4(1+12+13+), что может быть больше любого наперед заданного числа, противореча тому что все круги лежат в квадрате конечной площади.