18-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2022 год

Существуют ли две ограниченные последовательности $a_1, a_2, \ldots$ и $b_1, b_2, \ldots$ такие, что для любых натуральных $m>n$ выполнено хотя бы одно из двух условий $$|a_m-a_n|>{1\over\sqrt{n}} \quad \text{или} \quad |b_m-b_n|>{1\over\sqrt{n}}?$$ ( Шынтас Н. )

Комментарий/решение

Рассмотрим точки $X_{i}$ на координатной плоскости с координатами $(a_i, b_i)$. Проведем в точке $X_i$ окружность с радиусом $\frac{1}{2\sqrt{i}}$. Из ограниченности, все эти точки лежат внутри квадрата с какой то конечной площадью, увеличим этот квадрат на $\frac{1}{2}$ по краям, чтобы все внутренности кругов лежали внутри. Пусть какие то две окружности пересекаются, тогда рассмотрим их центры - $X_{n}$ и $X_{m}$, где $m>n$. Расстояние между этими точками равно $\sqrt{(a_{m}-a_{n})^2+(b_{m}-b_{n})^2}> \frac{1}{\sqrt{n}}$ и так как окружности пересекаются, то оно меньше $\frac{1}{2\sqrt{n}} + \frac{1}{2\sqrt{m}} < \frac{1}{\sqrt{n}}$, откуда противоречие. Значит никакие две окружности не пересекаются, тогда общая площадь занимаемая ими будет равна $\frac{\pi}{4}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots)$, что может быть больше любого наперед заданного числа, противореча тому что все круги лежат в квадрате конечной площади.