18-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2022 год

Ненулевые многочлены $P(x)$, $Q(x)$ и $R(x)$ с вещественными коэффициентами удовлетворяют тождествам $P(x)+Q(x)+R(x)=P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))=0.$ Докажите, что степени всех трёх многочленов чётны. ( И. Богданов )

Комментарий/решение

По первому условию понятно что у двух многочленов одинаковая степень, и у третьей степени меньше их (в ином случае максимальная степень не сможет сократиться в уравнении). Если посмотреть по второму уравнению, то можно понять что степени всех многочленов равны. Допустим что все многочлены нечётны. Давайте $a, b, c$ это коэффициенты этих высших степеней в многочлене соответсвенно, значит $a+b+c=0$, а по второму уравнению следует что $ab^n + bc^n +ca^n=0$. Так же какие то два числа имеют одинаковый знак, пусть $a,b>0$ и $c=-(a+b)<0$, так же следует что $|c|>a, b>0$. Значит $|bc^n +ca^n|= ab^n$. Но $|bc^n + ca^n|> |bc^n|> b*|c|*|c^{n-1}| > a*b*b^{n-1}$ что является противоречием. Для случая двух отрицательных так же.