18-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2022 год

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, а $I$ — центр вписанной окружности. Точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BI$, а точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно прямой $AI$. Пусть $N$ — середина отрезка $A_1B_1$. Докажите, что $IN > IM$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть $AD$ и $BE$ высоты треугольников $ABB_{1}, \ ABA_{1}$ соответственно, тогда $MD=ME = \dfrac{AB}{2}$ как средние линии треугольников $ABB_{1}, \ ABA_{1}$ тогда $I \in AD \cap BE$ значит $I$ лежит внутри $AEDB$ но $EN=DN = \dfrac{AB}{2}$ как средние линии треугольников $AA_{1}B_{1}, \ BB_{1}A_{1}$ значит $MEDN$ ромб и $O \in DE \cap MN$ опустим перпендикуляр $IT \perp MN$ так как $T \in OM$ тогда $TN > MT$ значит $IN > IM$