Шынтас Н.

Есеп №1. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы

$\Omega$ шеңберіне іштей сызылған. Осы үшбұрыштың

$AD, BE$ және

$CF$ биіктіктері жүргізілген.

$AD$ түзуі

$\Omega$ --ны екінші рет

$P$ нүктесінде, ал

$PF$ және

$PE$ түзулері

$\Omega$ --ны екінші рет сәйкесінше

$R$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$O_1$ және

$O_2$ нүктелері сәйкесінше

$BFR$ және

$CEQ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері болсын.

$O_1O_2$ түзуі

$EF$ кесіндісінің ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Число назовем «нефакториальным», если оно не представимо в виде конечной суммы различных факториалов целых неотрицательных чисел. Докажите, что существует бесконечно много нефакториальных натуральных чисел. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №3. Существуют ли две ограниченные последовательности

$a_1, a_2, \ldots$ и

$b_1, b_2, \ldots$ такие, что для любых натуральных

$m>n$ выполнено хотя бы одно из двух условий

$|a_m-a_n|>{1\over\sqrt{n}} \quad \text{или} \quad |b_m-b_n|>{1\over\sqrt{n}}?$ ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. Дан вписанный выпуклый четырехугольник

$ABCD$ с точкой пересечения диагоналей

$O$ .

$M$ и

$N$ — середины сторон

$AD$ и

$BC$ соответственно. На дуге

$AB$ , не содержащей точек

$C$ и

$D$ , описанной окружности

$ABCD$ отметили точку

$S$ такую, что

$\angle SMA=\angle SNB$ . Пусть

$T$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми

$SM,$

$SN,$

$AB$ и

$CD$ . Докажите, что точки

$S,$

$O,$

$T$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5. В остроугольном треугольнике

$ABC$ провели высоты

$AD,$

$BE$ и

$CF.$

$P$ и

$Q$ лежат на отрезках

$AB$ и

$AC$ соответственно так, что прямая

$PQ$ параллельна

$BC$ . Окружности построенные на

$BQ$ и

$CP$ , как на диаметрах, пересекаются в точках

$R$ и

$T$ (

$R$ является ближе к

$A$ чем

$T$ ). Пусть

$CM$ и

$BN$ — высоты в треугольнике

$BCR$ . Докажите, что прямые

$FM,$

$NE$ и

$AD$ пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №6. В остроугольном треугольнике

$ABC$ провели высоты

$AD,$

$BE$ и

$CF.$

$P$ и

$Q$ лежат на отрезках

$AB$ и

$AC$ соответственно так, что прямая

$PQ$ параллельна

$BC$ . Окружности построенные на

$BQ$ и

$CP$ , как на диаметрах, пересекаются в точках

$R$ и

$T$ (

$R$ является ближе к

$A$ чем

$T$ ). Пусть

$CM$ и

$BN$ — высоты в треугольнике

$BCR$ . Докажите, что прямые

$FM,$

$NE$ и

$AD$ пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №7. Дан вписанный выпуклый четырехугольник

$ABCD$ с точкой пересечения диагоналей

$O$ .

$M$ и

$N$ — середины сторон

$AD$ и

$BC$ соответственно. На дуге

$AB$ , не содержащей точек

$C$ и

$D$ , описанной окружности

$ABCD$ отметили точку

$S$ такую, что

$\angle SMA=\angle SNB$ . Пусть

$T$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми

$SM,$

$SN,$

$AB$ и

$CD$ . Докажите, что точки

$S,$

$O,$

$T$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №8. Центрі

$O$ болатын

$\omega$ шеңберіне сүйірбұрышты

$ABC$ (

$AB\ne AC$ ) үшбұрышы іштей сызылған.

$M$ нүктесі —

$BC$ қабырғасының ортасы.

$\omega$ -ға

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу

$BC$ қабырғасының созындысын

$D$ нүктесінде қияды. Центрі

$M$ ал радиусы

$MA$ болатын шеңбер

$AB$ және

$AC$ қабырғаларының созындыларын, сәйкесінше,

$K$ және

$L$ және нүктелерінде қияды.

$X$ нүктесі

$BX\parallel KM$ және

$CX\parallel LM$ болатындай нүкте.

$X$ ,

$D$ ,

$O$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №9. Барлық бұрышы

$45^\circ$ -тан артық болатын

$ABC$ (

$AB\ne AC$ ) үшбұрышында

$AD$ биіктігі жүргізілген.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ — диаметрлері, сәйкесінше,

$AC$ және

$AB$ болатын шеңберлер.

$ADB$ бұрышының биссектрисасы

$\omega_1$ -ді екінші рет

$P$ нүктесінде, ал

$ADC$ бұрышының биссектрисасы

$\omega_2$ -ні екінші рет

$Q$ нүктесінде қияды.

$AP$ түзуі

$\omega_2$ -ні екінші рет

$R$ нүктесінде қисын.

$PQR$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі

$BC$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(2) олимпиада