Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

Задача №1. В остроугольном треугольнике

$ABC$ провели высоты

$AD,$

$BE$ и

$CF.$

$P$ и

$Q$ лежат на отрезках

$AB$ и

$AC$ соответственно так, что прямая

$PQ$ параллельна

$BC$ . Окружности построенные на

$BQ$ и

$CP$ , как на диаметрах, пересекаются в точках

$R$ и

$T$ (

$R$ является ближе к

$A$ чем

$T$ ). Пусть

$CM$ и

$BN$ — высоты в треугольнике

$BCR$ . Докажите, что прямые

$FM,$

$NE$ и

$AD$ пересекаются в одной точке. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(3)

Задача №2. Для натурального числа

$A$ , определим

$Z(A)$ как число

$A$ , записанное в обратном порядке (например,

$Z(521)=125$ ). Число

$A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и

$(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$ . Найдите все «хорошие» числа большие

$10^{6}$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$m \in \mathbb{N}$ . Найдите все такие функции

$f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ , что для любых

$x, y \in \mathbb{R}^{+}$ выполнено

$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\frac{f(y)}{y}-1\right) \cdot x+f^{(m)}(y) .$ Здесь

${f^{(m)}}(y) = \underbrace {f(f( \ldots f(y) \ldots ))}_{m \text{ раз}}$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Дан многочлен

$P(x)$ 699-й степени с положительными целыми коэффициентами, причем

$P(1) \leqslant 2022$ . Докажите, что найдутся несколько подряд идущих коэффициентов, сумма которых равна 22, 55 или 77.
комментарий/решение(3)

Задача №5. Дан вписанный выпуклый четырехугольник

$ABCD$ с точкой пересечения диагоналей

$O$ .

$M$ и

$N$ — середины сторон

$AD$ и

$BC$ соответственно. На дуге

$AB$ , не содержащей точек

$C$ и

$D$ , описанной окружности

$ABCD$ отметили точку

$S$ такую, что

$\angle SMA=\angle SNB$ . Пусть

$T$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника образованного прямыми

$SM,$

$SN,$

$AB$ и

$CD$ . Докажите, что точки

$S,$

$O,$

$T$ лежат на одной прямой. ( Шынтас Н. )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Бесконечная последовательность натуральных чисел

$\{a_{n}\}$ удовлетворяет соотношению

$a_{n+2}=a_{n} a_{n+1}+1$ , для любого

$n \geqslant 1$ . Докажите, что для любого индекса

$i$ найдется такой индекс

$j > i$ , что

$a_{j}^{j}$ делится на

$a_{i}^{i}$ .
комментарий/решение(5)

результаты