Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Допустим найдется такой $a$ что$:$
$f(a)<a$
Тогда$:$
$$$$
$P(x,y) \rightarrow (a, a-f(a))$
$0=\left(\dfrac{f(y)}{y}-1\right)a+f^{(m)}(y)$
$f(y)<y $ т.к. $ f(l) \in R^+$
$P(x,y) \rightarrow (y, y-f(y))$
$y \Leftrightarrow y_1$
$0=\left(\dfrac{f(y_1)}{y_1}-1\right)y+f^{(m)}(y_1)$
$f(y_1)<y_1$
$y>y-f(y)\Leftrightarrow y_1$
Аналогично продолжая, дойдем до такого$:$
$f(y_k), y_k>0$
Что$:$
$f(y_k) \leq 0 \rightarrow \varnothing$
$$$$
Теперь $f(x) \geq x:$
$x=y$
$f(x)=z$
$f(z+x)=2f(x)-x+f^{(n)}(x)$
Заметим$:$
$f^{(n)}(x)<f(z+x)$
Также$:$
$f^{(n)}(x)\leq f^{(n+k)}(x)$ $(1)$
Значит существует такой $n$ что$:$
$f^{(n)}(x)= f^{(n+k)}(x)$ $(2)$
Для любого $k \in N$
$$$$
$P(x,y) \rightarrow (x ,f^{(n)}(y))$
$f(f(x)+f^{(n)}(y))=f(x)+f^{(n+m)}(y)$
По $(2):$
$f^{(n+m)}(y)=f^{(n)}(y)$
$f(f(x)+f^{(n)}(y))=f(x)+f^{(n)}(y)$ $(3)$
$$$$
$P(x,y) \rightarrow (f^{(n)}(x),f(b))$
$f(f^{(n)}(x)+f(b))-f(f^{(n)}(x))=f(b)=\left(\dfrac{f(f(a))}{a}-1\right)f^{(n)}(x)+f^{(m+1)}(b)$
По $(1):$
$f^{(m+1)}(b)\geq f(b)$
$\left(\dfrac{f(f(b))}{f(b)}-1\right) = 0$
Значит$:$
$f(x)=f^{(n)}(x)$ $(4)$
$$$$
Преобразуем выражение используя $(4):$
$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\dfrac{f(y)}{y}-1\right)x+f(y)$
Допустим$:$
$f(a)=f(b)=c$
Зафиксируем $y$
$f(c+y)=c+\left(\dfrac{f(y)}{y}-1\right)a+f(y)$
$f(c+y)=c+\left(\dfrac{f(y)}{y}-1\right)b+f(y)$
Либо$:$
$f(y)=y$
Либо$:$
$a=b$
$f -$ инъективная $(5)$
По $(4)$ и $(5):$
$f(x)=f(f(x)) \rightarrow f(x)=x$
$$$$
Ответ: $f(x)=x$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.