Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

Пусть $m \in \mathbb{N}$. Найдите все такие функции $f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ выполнено $$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\frac{f(y)}{y}-1\right) \cdot x+f^{(m)}(y) .$$ Здесь ${f^{(m)}}(y) = \underbrace {f(f( \ldots f(y) \ldots ))}_{m \text{ раз}}$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Допустим найдется такой $a$ что$:$

$f(a)<a$

Тогда$:$

$P(x,y) \rightarrow (a, a-f(a))$

$0=\left(\dfrac{f(y)}{y}-1\right)a+f^{(m)}(y)$

$f(y)<y$ т.к. $f(l) \in R^+$

$P(x,y) \rightarrow (y, y-f(y))$

$y \Leftrightarrow y_1$

$0=\left(\dfrac{f(y_1)}{y_1}-1\right)y+f^{(m)}(y_1)$

$f(y_1)<y_1$

$y>y-f(y)\Leftrightarrow y_1$

Аналогично продолжая, дойдем до такого$:$

$f(y_k), y_k>0$

Что$:$

$f(y_k) \leq 0 \rightarrow \varnothing$

Теперь $f(x) \geq x:$

$x=y$

$f(x)=z$

$f(z+x)=2f(x)-x+f^{(n)}(x)$

Заметим$:$

$f^{(n)}(x)<f(z+x)$

Также$:$

$f^{(n)}(x)\leq f^{(n+k)}(x)$ $(1)$

Значит существует такой $n$ что$:$

$f^{(n)}(x)= f^{(n+k)}(x)$ $(2)$

Для любого $k \in N$

$P(x,y) \rightarrow (x ,f^{(n)}(y))$

$f(f(x)+f^{(n)}(y))=f(x)+f^{(n+m)}(y)$

По $(2):$

$f^{(n+m)}(y)=f^{(n)}(y)$

$f(f(x)+f^{(n)}(y))=f(x)+f^{(n)}(y)$ $(3)$

$P(x,y) \rightarrow (f^{(n)}(x),f(b))$

$f(f^{(n)}(x)+f(b))-f(f^{(n)}(x))=f(b)=\left(\dfrac{f(f(a))}{a}-1\right)f^{(n)}(x)+f^{(m+1)}(b)$

По $(1):$

$f^{(m+1)}(b)\geq f(b)$

$\left(\dfrac{f(f(b))}{f(b)}-1\right) = 0$

Значит$:$

$f(x)=f^{(n)}(x)$ $(4)$

Преобразуем выражение используя $(4):$

$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\dfrac{f(y)}{y}-1\right)x+f(y)$

Допустим$:$

$f(a)=f(b)=c$

Зафиксируем $y$

$f(c+y)=c+\left(\dfrac{f(y)}{y}-1\right)a+f(y)$

$f(c+y)=c+\left(\dfrac{f(y)}{y}-1\right)b+f(y)$

Либо$:$

$f(y)=y$

Либо$:$

$a=b$

$f -$ инъективная $(5)$

По $(4)$ и $(5):$

$f(x)=f(f(x)) \rightarrow f(x)=x$

Ответ: $f(x)=x$