Абдыкулов А.
Задача №1. Докажите, что существует бесконечно много пар (a,b) натуральных чисел таких, что a≠b и для любого натурального n выполняется равенство [√a2n+√b2n+1]=[√(a+b)2n+3]. (Здесь [x] — целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x.) ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Для положительных вещественных x1,x2,…,xn докажите неравенство: 11+x1+11+x2+…+11+xn≤n1+n1x1+1x2+…+1xn. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Найти все пары натуральных чисел (x,y) таких, что x3+1 делится на y2, а y3+1 делится на x2. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №4. Пусть p — простое число, дающее остаток 1 при делении на 4. Найти все такие натуральные числа a, b и c, которые одновременно удовлетворяют условиям
a) наибольший общий делитель чисел a, b и c равен 1;
b) ab не делится на p;
c) 1a+1b+1cp=4p. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(20) олимпиада
Задача №5. Найти все пары натуральных чисел (x,y) таких, что x3+1 делится на y2, а y3+1 делится на x2. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №6. Пусть p — простое число, дающее остаток 1 при делении на 4. Найти все такие натуральные числа a, b и c, которые одновременно удовлетворяют условиям
a) наибольший общий делитель чисел a, b и c равен 1;
b) ab не делится на p;
c) 1a+1b+1cp=4p. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №7. Найти все пары натуральных чисел (x,y) таких, что x3+1 делится на y2, а y3+1 делится на x2. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8. Найти все тройки натуральных чисел (a,b,c), которые удовлетворяют условиям: числа a и 6 взаимно просты и выполнено равенство a4−b3=b3−c2=c2−a. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(12) олимпиада
Задача №9. Дано некоторое простое число p. Для каждого целого числа a, 1<a<p2, найдется такое целое число b, что p2<b<p и ab−1 делится на p. Найдите все такие p. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(19) олимпиада
Задача №10. Для натурального числа A, определим Z(A) как число A, записанное в обратном порядке (например, Z(521)=125 ). Число A называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и (Z(A))2=Z(A2). Найдите все «хорошие» числа большие 106. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №11. Для натурального числа A, определим Z(A) как число A, записанное в обратном порядке (например, Z(521)=125 ). Число A называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и (Z(A))2=Z(A2). Найдите все «хорошие» числа большие 106. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №12. Пусть m∈N. Найдите все такие функции f:R+→R+, что для любых x,y∈R+ выполнено f(f(x)+y)−f(x)=(f(y)y−1)⋅x+f(m)(y). Здесь f(m)(y)=f(f(…f(y)…))⏟m раз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №13. Для натурального числа A, определим Z(A) как число A, записанное в обратном порядке (например, Z(521)=125 ). Число A называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и (Z(A))2=Z(A2). Найдите все «хорошие» числа большие 106. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №14. Пусть m∈N. Найдите все такие функции f:R+→R+, что для любых x,y∈R+ выполнено f(f(x)+y)−f(x)=(f(y)y−1)⋅x+f(m)(y). Здесь f(m)(y)=f(f(…f(y)…))⏟m раз. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №15. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. На прямой AB и AC выбраны точки E, D (E≠A, D≠A) соответственно. Оказалось, что точки E, D лежат по одну сторону от прямой BC и EB=BK, CD=CK. Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника EBCD лежит на прямой AK то AB=AC. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №16. Найдите все натуральные a,b,c такие, что a+(b,c)=b+(c,a)=c+(a,b). Здесь (x,y) — наибольший общий делитель чисел x и y. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №17. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. На прямой AB и AC выбраны точки E, D (E≠A, D≠A) соответственно. Оказалось, что точки E, D лежат по одну сторону от прямой BC и EB=BK, CD=CK. Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника EBCD лежит на прямой AK то AB=AC. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №18. Найдите все натуральные a,b,c такие, что a+(b,c)=b+(c,a)=c+(a,b). Здесь (x,y) — наибольший общий делитель чисел x и y. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №19. Найдите все натуральные a,b,c такие, что a+(b,c)=b+(c,a)=c+(a,b). Здесь (x,y) — наибольший общий делитель чисел x и y. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада