қазақша
русскийАбдыкулов А.
Задача №1. Докажите, что существует бесконечно много пар $\left( a,b \right)$ натуральных чисел таких, что $a\ne b$ и для любого натурального $n$ выполняется равенство $$\left[ \sqrt{a^2 n}+\sqrt{b^2n+1} \right]=\left[ \sqrt{( a+b)^2 n+3} \right].$$ (Здесь $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.) ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Для положительных вещественных $x_1, x_2, \ldots , x_n$ докажите неравенство: $$\frac{1}{1+x_1} +\frac{ 1}{1+x_2} + \ldots+ \frac{1}{1+x_n} \leq \frac{n}{1+\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots+\frac{ 1}{x_n}}}.$$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Найти все пары натуральных чисел $(x, y)$ таких, что $x^3 + 1$ делится на $y^2$, а $y^3 +1$ делится на $x^2$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №4. Пусть $p$ — простое число, дающее остаток 1 при делении на 4. Найти все такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, которые одновременно удовлетворяют условиям
a) наибольший общий делитель чисел $a$, $b$ и $c$ равен $1$;
b) $ab$ не делится на $p$;
c) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(20) олимпиада
Задача №5. Найти все пары натуральных чисел $(x, y)$ таких, что $x^3 + 1$ делится на $y^2$, а $y^3 +1$ делится на $x^2$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №6. Пусть $p$ — простое число, дающее остаток 1 при делении на 4. Найти все такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, которые одновременно удовлетворяют условиям
a) наибольший общий делитель чисел $a$, $b$ и $c$ равен $1$;
b) $ab$ не делится на $p$;
c) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №7. Найти все пары натуральных чисел $(x, y)$ таких, что $x^3 + 1$ делится на $y^2$, а $y^3 +1$ делится на $x^2$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8. Найти все тройки натуральных чисел $(a, b, c)$, которые удовлетворяют условиям: числа $a$ и $6$ взаимно просты и выполнено равенство $a^4 - b^3 = b^3 - c^2 = c^2 - a$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(12) олимпиада
Задача №9. Дано некоторое простое число $p$. Для каждого целого числа $a$, $1 < a < \frac{p}{2}$, найдется такое целое число $b$, что $\frac{p}{2} < b < p$ и $ab-1$ делится на $p$. Найдите все такие $p$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(19) олимпиада
Задача №10. Для натурального числа $A$, определим $Z(A)$ как число $A$, записанное в обратном порядке (например, $Z(521)=125$ ). Число $A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и $(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$. Найдите все «хорошие» числа большие $10^{6}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №11. Для натурального числа $A$, определим $Z(A)$ как число $A$, записанное в обратном порядке (например, $Z(521)=125$ ). Число $A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и $(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$. Найдите все «хорошие» числа большие $10^{6}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №12. Пусть $m \in \mathbb{N}$. Найдите все такие функции $f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ выполнено $$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\frac{f(y)}{y}-1\right) \cdot x+f^{(m)}(y) .$$ Здесь ${f^{(m)}}(y) = \underbrace {f(f( \ldots f(y) \ldots ))}_{m \text{ раз}}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №13. Для натурального числа $A$, определим $Z(A)$ как число $A$, записанное в обратном порядке (например, $Z(521)=125$ ). Число $A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и $(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$. Найдите все «хорошие» числа большие $10^{6}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №14. Пусть $m \in \mathbb{N}$. Найдите все такие функции $f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$, что для любых $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ выполнено $$f(f(x)+y)-f(x)=\left(\frac{f(y)}{y}-1\right) \cdot x+f^{(m)}(y) .$$ Здесь ${f^{(m)}}(y) = \underbrace {f(f( \ldots f(y) \ldots ))}_{m \text{ раз}}$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №15. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. На прямой $AB$ и $AC$ выбраны точки $E$, $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) соответственно. Оказалось, что точки $E$, $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ и $EB = BK$, $CD = CK$. Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника $EBCD$ лежит на прямой $AK$ то $AB = AC$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №16. Найдите все натуральные $a,b,c$ такие, что $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$. Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №17. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. На прямой $AB$ и $AC$ выбраны точки $E$, $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) соответственно. Оказалось, что точки $E$, $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ и $EB = BK$, $CD = CK$. Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника $EBCD$ лежит на прямой $AK$ то $AB = AC$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №18. Найдите все натуральные $a,b,c$ такие, что $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$. Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №19. Найдите все натуральные $a,b,c$ такие, что $a + (b,c) = b + (c,a) = c + (a,b)$. Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1) олимпиада