Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Для положительных чисел a, b и c докажите неравенство: a2+2b2+b2+2c2+c2+2a23(a+b+c).
комментарий/решение(65)
Задача №2.  Дан треугольник ABC, в котором ABC=120. Биссектрисы AP, BQ и CR треугольника ABC пересекаются в точке I. Перпендикуляр из точки P на CR пересекает AC в точке S; перпендикуляр из точки R на AP пересекает AC в точке T. Докажите, что
   a) TIS=90;
   b) QS=QT. ( Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(6)
Задача №3.  Найти все пары натуральных чисел (x,y) таких, что x3+1 делится на y2, а y3+1 делится на x2. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(4)
Задача №4.  На горизонтальной прямой отмечены n чёрных точек. Между двумя соседними чёрными точками Арман проводит вертикальную прямую так, чтобы слева и справа от этой прямой оставалось не менее двух чёрных точек. Затем Арман все чёрные точки, расположенные слева от вертикальной прямой, красит в синий цвет, после этого одну или две чёрные точки справа от этой прямой красит в красный цвет, оставшиеся (если таковые есть) — в зелёный цвет. Арман подсчитал, что, действуя таким образом, он может получить 55 различных раскрасок этих точек. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Дан треугольник ABC, в котором AB=AC и BAC>90. Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Точка M симметрична точке A относительно стороны BC. На продолжении стороны BC за точку C выбрана точка D. Прямая DM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точках E и F. Окружности, описанные около треугольников ADE и ADF пересекают сторону BC в точках P и Q соответственно. Докажите, что точки A, P, O и Q лежат на одной окружности. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Пусть p — простое число, дающее остаток 1 при делении на 4. Найти все такие натуральные числа a, b и c, которые одновременно удовлетворяют условиям
   a) наибольший общий делитель чисел a, b и c равен 1;
   b) ab не делится на p;
   c) 1a+1b+1cp=4p. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(20)