Областная олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Для положительных чисел $a$, $b$ и $c$ докажите неравенство: $\sqrt{a^2 + 2 b^2} + \sqrt{b^2 + 2c^2} +\sqrt{c^2 + 2a^2} \ge \sqrt{3} (a + b + c).$
комментарий/решение(65)

Задача №2. Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle ABC = 120^\circ$. Биссектрисы $AP$, $BQ$ и $CR$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Перпендикуляр из точки $P$ на $CR$ пересекает $AC$ в точке $S$; перпендикуляр из точки $R$ на $AP$ пересекает $AC$ в точке $T$. Докажите, что
a) $\angle TIS = 90^\circ$;
b) $QS = QT$. ( Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(5)

Задача №3. Найти все пары натуральных чисел $(x, y)$ таких, что $x^3 + 1$ делится на $y^2$, а $y^3 +1$ делится на $x^2$. ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(3)

Задача №4. На горизонтальной прямой отмечены $n$ чёрных точек. Между двумя соседними чёрными точками Арман проводит вертикальную прямую так, чтобы слева и справа от этой прямой оставалось не менее двух чёрных точек. Затем Арман все чёрные точки, расположенные слева от вертикальной прямой, красит в синий цвет, после этого одну или две чёрные точки справа от этой прямой красит в красный цвет, оставшиеся (если таковые есть) — в зелёный цвет. Арман подсчитал, что, действуя таким образом, он может получить 55 различных раскрасок этих точек. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$ и $\angle BAC > 90^\circ$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $M$ симметрична точке $A$ относительно стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $D$. Прямая $DM$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $E$ и $F$. Окружности, описанные около треугольников $ADE$ и $ADF$ пересекают сторону $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что точки $A$, $P$, $O$ и $Q$ лежат на одной окружности. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Пусть $p$ — простое число, дающее остаток 1 при делении на 4. Найти все такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, которые одновременно удовлетворяют условиям
   a) наибольший общий делитель чисел $a$, $b$ и $c$ равен $1$;
   b) $ab$ не делится на $p$;
   c) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(20)