Processing math: 14%

Областная олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс


Дан треугольник ABC, в котором ABC=120. Биссектрисы AP, BQ и CR треугольника ABC пересекаются в точке I. Перпендикуляр из точки P на CR пересекает AC в точке S; перпендикуляр из точки R на AP пересекает AC в точке T. Докажите, что
   a) TIS=90;
   b) QS=QT. ( Хаджимуратов Н )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   6
2 года 11 месяца назад #

1) Зайдем из далека и обозначим пересечение PS CR = S` и RT \cap AP = T`, тогда следует что AT`; CS` - биссектрисы(исходя из принадлежности к отрезкам AP и CR соответственно). и высоты, следует что оба треугольника - равнобедренные \Rightarrow RT` = T`T ; SS` = PS`. Отсюда также следует равнобедренность треугольников , \triangle TIR и \triangle ISP

2) Начнем работу с углами, так как угол \angle ABC = 120^\circ, следует что угол \angle AIC = 90^\circ+ \frac{1}{2} \angle ABC = 150^\circ и значит \angle RIA= 30^\circ, как смежный. И т.к \triangle TIR - равнобедренный, следует \angle RIT` = \angle RIA = \angle TIT` = \angle AIT = 30^\circ. Теперь заметим, что углы \angle RIT = \angle ISP = 60^\circ, и IC - биссектриса, значит \angle CIS = <\angle AIT = 30^\circ. Теперь очевидно, что \angle TIS =\angle AIC - \angle CIS - \angle AIT = 150^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 90^\circ, ч.т.д

3) Для доказательства пункта б, аналогично зайдем с далека, рассмотрим \triangle ABC, легко понять, что \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ-\angle ABC =60^\circ. Сделаем замену, пусть угол \angle BCA = 2\alpha, Значит \angle BAC = 60^\circ - 2\alpha . Теперь осталось заметить, что \angle QTI = \angle TIA+\angle TAI(как внешний угол) = \frac{1}{2} (60^\circ-2\alpha) + 30^\circ= 60^\circ - \alpha. И теперь. \angle QIT = \angle QIA - \angle TIA = 90^\circ- \angle BCA* \frac{1}{2} - 30^\circ = 60^\circ - \alpha => QI = TQ => \angle QIT = \angle QIS = 45^\circ=> \angle TSI = \angle STI => TQ = QS, ч.т.д

  4
1 года 4 месяца назад #

1 ЧАС расписывал с помощью счёт углов,потому что фото нельзя выставить и когда я нажал отправить гугл обновился,у меня вышло из аккаунта а также всё пропало.ТРЕБУЮ ВОССТАНОВИТЬ ФОТО В МАТОЛ!!!

  6
1 года 3 месяца назад #

\angle ABQ=\angle CBQ =60°.\angle BAP=\angle CAP=x.\angle ACR=\angle BCR=30-x.

Пересечение AP и RT точка K.\triangle AKR=\triangle AKT;\triangle IKT=\triangle IRK\Rightarrow \angle ATK=90-x;\angle ITK=60°\Rightarrow \angle ITS=30+x;\angle TIK=\angle RIK=30°\Rightarrow \angle TRI=60°

\angle CRB=30+x\Rightarrow \angle RIB=90-x;\angle PIB=60+x;\angle IPB=60-x\Rightarrow \angle IPS=60°=\angle ISP;\angle CIP=30°=\angle CIS.\angle PSC=60+x\Rightarrow \angle TSI=60-x\Rightarrow \angle TIS=90°.Что и требовалось пункту a).

\angle BIP=\angle AIQ=60+x\Rightarrow \angle TIQ=30+x\Rightarrow \angle QIS=60-x;QT=QI=QS.Что и требовалось пункту b).

  7
1 года 3 месяца назад #

Откуда у тебя \angle ITK=60 с чего вы это взяли?Просто если я что то не заметил объясните пожалуйста

  6
1 года 3 месяца назад #

Обратим внимание на \triangle ABP.\angle APB=60-x\Rightarrow \angle APC=120+x.\angle SPC=60+x\Rightarrow APS=60°\Rightarrow CIP=30°=\angle RIK=\angle TIK\Rightarrow ITK=60°

  3
1 месяца 24 дней назад #

CI биссектриса и CI \bot SP, значить \square CPIS kite. Аналогично \square APIT kite. Допустим \angle BCI = \angle ACI = \alpha. Тогда \angle BIC = 120 - \alpha \Leftrightarrow \angle BIR = 60 + \alpha \Leftrightarrow \angle BRI = 60 - \alpha

Так как \angle ACB = 2\alpha \Leftrightarrow \angle BAI = CAI = 30 - \alpha \Leftrightarrow \angle ART = \angle ATR = 60 + \alpha ; \angle BRI = 60 - \alpha \Leftrightarrow \angle TRI =60 = \angle RTI \Leftrightarrow \angle RIA = \angle TIA = 30 \Leftrightarrow \angle TIC = 60 - \alpha ; \angle ITC = 60 - \alpha \Leftrightarrow \angle TSI = 30 - \alpha QT = QI

\angle BIP = 90 - \alpha ; \angle PIC = 60 \Leftrightarrow \angle QIS = 30 - \alpha = \angle QSI \Leftrightarrow \angle TIS = 90^\circ QI = QS = QI = QT