Областная олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle ABC = 120^\circ$. Биссектрисы $AP$, $BQ$ и $CR$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Перпендикуляр из точки $P$ на $CR$ пересекает $AC$ в точке $S$; перпендикуляр из точки $R$ на $AP$ пересекает $AC$ в точке $T$. Докажите, что
   a) $\angle TIS = 90^\circ$;
   b) $QS = QT$. ( Хаджимуратов Н )

Комментарий/решение

1) Зайдем из далека и обозначим пересечение $PS$ $\cap$ $CR$ = $S`$ и $RT$ $\cap$ $AP$ = $T`$, тогда следует что $AT`$; $CS`$ - биссектрисы(исходя из принадлежности к отрезкам $AP$ и $CR$ соответственно). и высоты, следует что оба треугольника - равнобедренные $\Rightarrow$ $RT$` =$ T`T$ ; $SS`$ = $PS`$. Отсюда также следует равнобедренность треугольников , $\triangle TIR$ и $\triangle ISP$

2) Начнем работу с углами, так как угол $\angle ABC$ = $120^\circ$, следует что угол $\angle AIC$ = $90^\circ$+ $\frac{1}{2}$ $\angle ABC$ = $150^\circ$ и значит $\angle RIA$= $30^\circ$, как смежный. И т.к $\triangle TIR$ - равнобедренный, следует $\angle RIT`$ = $\angle RIA$ = $\angle TIT`$ = $\angle AIT$ = $30^\circ$. Теперь заметим, что углы $\angle RIT$ = $\angle ISP$ = $60^\circ$, и $IC$ - биссектриса, значит $\angle CIS$ = <$\angle AIT$ = $30^\circ$. Теперь очевидно, что $\angle TIS$ =$\angle AIC$ - $\angle CIS$ - $\angle AIT$ = $150^\circ$ - $30^\circ$ - $30^\circ$ = $90^\circ$, ч.т.д

3) Для доказательства пункта б, аналогично зайдем с далека, рассмотрим $\triangle ABC$, легко понять, что $\angle BAC$ + $\angle BCA$ = $180^\circ$-$\angle ABC$ =$60^\circ$. Сделаем замену, пусть угол $\angle BCA$ = 2$\alpha$, Значит $\angle BAC$ = $60^\circ$ - 2$\alpha$ . Теперь осталось заметить, что $\angle QTI$ = $\angle TIA$+$\angle TAI$(как внешний угол) = $\frac{1}{2}$ ($60^\circ$-2$\alpha$) + $30^\circ$= $60^\circ$ - $\alpha$. И теперь. $\angle QIT$ = $\angle QIA$ - $\angle TIA$ = $90^\circ$- $\angle BCA$* $\frac{1}{2}$ - $30^\circ$ = $60^\circ$ - $\alpha$ => $QI$ = $TQ$ => $\angle QIT$ = $\angle QIS$ = $45^\circ$=> $\angle TSI$ = $\angle STI$ => $TQ$ = $QS$, ч.т.д

1 ЧАС расписывал с помощью счёт углов,потому что фото нельзя выставить и когда я нажал отправить гугл обновился,у меня вышло из аккаунта а также всё пропало.ТРЕБУЮ ВОССТАНОВИТЬ ФОТО В МАТОЛ!!!

$$\angle ABQ=\angle CBQ =60°.\angle BAP=\angle CAP=x.\angle ACR=\angle BCR=30-x.$$

Пересечение $AP$ и $RT$ точка $K$.$$\triangle AKR=\triangle AKT;\triangle IKT=\triangle IRK\Rightarrow \angle ATK=90-x;\angle ITK=60°\Rightarrow \angle ITS=30+x;\angle TIK=\angle RIK=30°\Rightarrow \angle TRI=60°$$

$$\angle CRB=30+x\Rightarrow \angle RIB=90-x;\angle PIB=60+x;\angle IPB=60-x\Rightarrow \angle IPS=60°=\angle ISP;\angle CIP=30°=\angle CIS.\angle PSC=60+x\Rightarrow \angle TSI=60-x\Rightarrow \angle TIS=90°.$$Что и требовалось пункту a).

$$\angle BIP=\angle AIQ=60+x\Rightarrow \angle TIQ=30+x\Rightarrow \angle QIS=60-x;QT=QI=QS.$$Что и требовалось пункту b).

Откуда у тебя $\angle ITK=60$ с чего вы это взяли?Просто если я что то не заметил объясните пожалуйста

Обратим внимание на $\triangle ABP.\angle APB=60-x\Rightarrow \angle APC=120+x.\angle SPC=60+x\Rightarrow APS=60°\Rightarrow CIP=30°=\angle RIK=\angle TIK\Rightarrow ITK=60°$