Математикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 9 сынып
a) ∠TIS=90∘;
b) QS=QT екенін дәлелдеңіз. ( Хаджимуратов Н )
Комментарий/решение:
1) Зайдем из далека и обозначим пересечение PS ∩ CR = S‘ и RT ∩ AP = T‘, тогда следует что AT‘; CS‘ - биссектрисы(исходя из принадлежности к отрезкам AP и CR соответственно). и высоты, следует что оба треугольника - равнобедренные ⇒ RT` =T‘T ; SS‘ = PS‘. Отсюда также следует равнобедренность треугольников , △TIR и △ISP
2) Начнем работу с углами, так как угол ∠ABC = 120∘, следует что угол ∠AIC = 90∘+ 12 ∠ABC = 150∘ и значит ∠RIA= 30∘, как смежный. И т.к △TIR - равнобедренный, следует ∠RIT‘ = ∠RIA = ∠TIT‘ = ∠AIT = 30∘. Теперь заметим, что углы ∠RIT = ∠ISP = 60∘, и IC - биссектриса, значит ∠CIS = <∠AIT = 30∘. Теперь очевидно, что ∠TIS =∠AIC - ∠CIS - ∠AIT = 150∘ - 30∘ - 30∘ = 90∘, ч.т.д
3) Для доказательства пункта б, аналогично зайдем с далека, рассмотрим △ABC, легко понять, что ∠BAC + ∠BCA = 180∘-∠ABC =60∘. Сделаем замену, пусть угол ∠BCA = 2α, Значит ∠BAC = 60∘ - 2α . Теперь осталось заметить, что ∠QTI = ∠TIA+∠TAI(как внешний угол) = 12 (60∘-2α) + 30∘= 60∘ - α. И теперь. ∠QIT = ∠QIA - ∠TIA = 90∘- ∠BCA* 12 - 30∘ = 60∘ - α => QI = TQ => ∠QIT = ∠QIS = 45∘=> ∠TSI = ∠STI => TQ = QS, ч.т.д
\angle ABQ=\angle CBQ =60°.\angle BAP=\angle CAP=x.\angle ACR=\angle BCR=30-x.
Пересечение AP и RT точка K.\triangle AKR=\triangle AKT;\triangle IKT=\triangle IRK\Rightarrow \angle ATK=90-x;\angle ITK=60°\Rightarrow \angle ITS=30+x;\angle TIK=\angle RIK=30°\Rightarrow \angle TRI=60°
\angle CRB=30+x\Rightarrow \angle RIB=90-x;\angle PIB=60+x;\angle IPB=60-x\Rightarrow \angle IPS=60°=\angle ISP;\angle CIP=30°=\angle CIS.\angle PSC=60+x\Rightarrow \angle TSI=60-x\Rightarrow \angle TIS=90°.Что и требовалось пункту a).
\angle BIP=\angle AIQ=60+x\Rightarrow \angle TIQ=30+x\Rightarrow \angle QIS=60-x;QT=QI=QS.Что и требовалось пункту b).
Откуда у тебя \angle ITK=60 с чего вы это взяли?Просто если я что то не заметил объясните пожалуйста
CI биссектриса и CI \bot SP, значить \square CPIS kite. Аналогично \square APIT kite. Допустим \angle BCI = \angle ACI = \alpha. Тогда \angle BIC = 120 - \alpha \Leftrightarrow \angle BIR = 60 + \alpha \Leftrightarrow \angle BRI = 60 - \alpha
Так как \angle ACB = 2\alpha \Leftrightarrow \angle BAI = CAI = 30 - \alpha \Leftrightarrow \angle ART = \angle ATR = 60 + \alpha ; \angle BRI = 60 - \alpha \Leftrightarrow \angle TRI =60 = \angle RTI \Leftrightarrow \angle RIA = \angle TIA = 30 \Leftrightarrow \angle TIC = 60 - \alpha ; \angle ITC = 60 - \alpha \Leftrightarrow \angle TSI = 30 - \alpha QT = QI
\angle BIP = 90 - \alpha ; \angle PIC = 60 \Leftrightarrow \angle QIS = 30 - \alpha = \angle QSI \Leftrightarrow \angle TIS = 90^\circ QI = QS = QI = QT
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.