Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 9 сынып


ABC үшбұрышында ABC=120 және оның AP, BQ, CR биссектрисалары I нүктесінде қиылысады. P нүктесінен CR түзуіне жүргізілген перпендикуляр AC қабырғасын S, ал R нүктесінен AP түзуіне жүргізілген перпендикуляр AC қабырғасын T нүктесінде қияды.
   a) TIS=90;
   b) QS=QT екенін дәлелдеңіз. ( Хаджимуратов Н )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   7
3 года назад #

1) Зайдем из далека и обозначим пересечение PS CR = S и RT AP = T, тогда следует что AT; CS - биссектрисы(исходя из принадлежности к отрезкам AP и CR соответственно). и высоты, следует что оба треугольника - равнобедренные RT` =TT ; SS = PS. Отсюда также следует равнобедренность треугольников , TIR и ISP

2) Начнем работу с углами, так как угол ABC = 120, следует что угол AIC = 90+ 12 ABC = 150 и значит RIA= 30, как смежный. И т.к TIR - равнобедренный, следует RIT = RIA = TIT = AIT = 30. Теперь заметим, что углы RIT = ISP = 60, и IC - биссектриса, значит CIS = <AIT = 30. Теперь очевидно, что TIS =AIC - CIS - AIT = 150 - 30 - 30 = 90, ч.т.д

3) Для доказательства пункта б, аналогично зайдем с далека, рассмотрим ABC, легко понять, что BAC + BCA = 180-ABC =60. Сделаем замену, пусть угол BCA = 2α, Значит BAC = 60 - 2α . Теперь осталось заметить, что QTI = TIA+TAI(как внешний угол) = 12 (60-2α) + 30= 60 - α. И теперь. QIT = QIA - TIA = 90- BCA* 12 - 30 = 60 - α => QI = TQ => QIT = QIS = 45=> TSI = STI => TQ = QS, ч.т.д

  5
1 года 5 месяца назад #

1 ЧАС расписывал с помощью счёт углов,потому что фото нельзя выставить и когда я нажал отправить гугл обновился,у меня вышло из аккаунта а также всё пропало.ТРЕБУЮ ВОССТАНОВИТЬ ФОТО В МАТОЛ!!!

  6
1 года 5 месяца назад #

\angle ABQ=\angle CBQ =60°.\angle BAP=\angle CAP=x.\angle ACR=\angle BCR=30-x.

Пересечение AP и RT точка K.\triangle AKR=\triangle AKT;\triangle IKT=\triangle IRK\Rightarrow \angle ATK=90-x;\angle ITK=60°\Rightarrow \angle ITS=30+x;\angle TIK=\angle RIK=30°\Rightarrow \angle TRI=60°

\angle CRB=30+x\Rightarrow \angle RIB=90-x;\angle PIB=60+x;\angle IPB=60-x\Rightarrow \angle IPS=60°=\angle ISP;\angle CIP=30°=\angle CIS.\angle PSC=60+x\Rightarrow \angle TSI=60-x\Rightarrow \angle TIS=90°.Что и требовалось пункту a).

\angle BIP=\angle AIQ=60+x\Rightarrow \angle TIQ=30+x\Rightarrow \angle QIS=60-x;QT=QI=QS.Что и требовалось пункту b).

  7
1 года 5 месяца назад #

Откуда у тебя \angle ITK=60 с чего вы это взяли?Просто если я что то не заметил объясните пожалуйста

  6
1 года 5 месяца назад #

Обратим внимание на \triangle ABP.\angle APB=60-x\Rightarrow \angle APC=120+x.\angle SPC=60+x\Rightarrow APS=60°\Rightarrow CIP=30°=\angle RIK=\angle TIK\Rightarrow ITK=60°

  5
3 месяца 4 дней назад #

CI биссектриса и CI \bot SP, значить \square CPIS kite. Аналогично \square APIT kite. Допустим \angle BCI = \angle ACI = \alpha. Тогда \angle BIC = 120 - \alpha \Leftrightarrow \angle BIR = 60 + \alpha \Leftrightarrow \angle BRI = 60 - \alpha

Так как \angle ACB = 2\alpha \Leftrightarrow \angle BAI = CAI = 30 - \alpha \Leftrightarrow \angle ART = \angle ATR = 60 + \alpha ; \angle BRI = 60 - \alpha \Leftrightarrow \angle TRI =60 = \angle RTI \Leftrightarrow \angle RIA = \angle TIA = 30 \Leftrightarrow \angle TIC = 60 - \alpha ; \angle ITC = 60 - \alpha \Leftrightarrow \angle TSI = 30 - \alpha QT = QI

\angle BIP = 90 - \alpha ; \angle PIC = 60 \Leftrightarrow \angle QIS = 30 - \alpha = \angle QSI \Leftrightarrow \angle TIS = 90^\circ QI = QS = QI = QT