Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс


Дан треугольник ABC, в котором AB=AC и BAC>90. Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Точка M симметрична точке A относительно стороны BC. На продолжении стороны BC за точку C выбрана точка D. Прямая DM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точках E и F. Окружности, описанные около треугольников ADE и ADF пересекают сторону BC в точках P и Q соответственно. Докажите, что точки A, P, O и Q лежат на одной окружности. ( Шакиев А. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2 года 7 месяца назад #

Пусть AEBC=X и AFBC=Y. AP=PE и AQ=QF из-за того что MDB=BDA ведь D лежит на серединном перпендикуляре к AM. Из равенства углов BEA=ABX=ACY=AFC получаем что треугольник ABX подобен треугольнику AEB и треугольник ACY подобен треугольнику AFC. Из этих подобий получаем что AB2=AC2=AY×AF=AX×AE откуда XYFE вписанный. Пусть POAE=K и AMBC=N. OAPE kite и XKO=XNO=90 и ONXK вписанный и POA=AXQ=AFE=180AFD=180AQD=AQP от куда AQOP вписанный ч.т.д.