Областная олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс
Дан треугольник ABC, в котором AB=AC и ∠BAC>90∘. Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Точка M симметрична точке A относительно стороны BC. На продолжении стороны BC за точку C выбрана точка D. Прямая DM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точках E и F. Окружности, описанные около треугольников ADE и ADF пересекают сторону BC в точках P и Q соответственно. Докажите, что точки A, P, O и Q лежат на одной окружности.
(
Шакиев А.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть AE∩BC=X и AF∩BC=Y. AP=PE и AQ=QF из-за того что ∠MDB=∠BDA ведь D лежит на серединном перпендикуляре к AM. Из равенства углов ∠BEA=∠ABX=∠ACY=∠AFC получаем что треугольник ABX подобен треугольнику AEB и треугольник ACY подобен треугольнику AFC. Из этих подобий получаем что AB2=AC2=AY×AF=AX×AE откуда XYFE вписанный. Пусть PO∩AE=K и AM∩BC=N. OAPE kite и ∠XKO=∠XNO=90 и ONXK вписанный и ∠POA=∠AXQ=∠AFE=180−∠AFD=180−∠AQD=∠AQP от куда AQOP вписанный ч.т.д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.