қазақша
русскийШакиев А.
Задача №1. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Gamma$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — описанные окружности треугольников $AEB$ и $CED$, соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точку $E$, окружности $\omega_1$ выбрана точка $P$, а на дуге $CD$, не содержащей точку $E$, окружности $\omega_2$ выбрана точка $Q$ так, что $\angle AEP = \angle QED$. Отрезок $PQ$ пересекает $\Gamma$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $PX=QY$. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$ и $\angle BAC > 90^\circ$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $M$ симметрична точке $A$ относительно стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $D$. Прямая $DM$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $E$ и $F$. Окружности, описанные около треугольников $ADE$ и $ADF$ пересекают сторону $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что точки $A$, $P$, $O$ и $Q$ лежат на одной окружности. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$ и $\angle BAC > 90^\circ$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $M$ симметрична точке $A$ относительно стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $D$. Прямая $DM$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $E$ и $F$. Окружности, описанные около треугольников $ADE$ и $ADF$ пересекают сторону $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямая $DA$ касается окружности, описанной около треугольника $POQ$. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №4. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$ и $\angle BAC > 90^\circ$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $M$ симметрична точке $A$ относительно стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $D$. Прямая $DM$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $E$ и $F$. Окружности, описанные около треугольников $ADE$ и $ADF$ пересекают сторону $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямая $DA$ касается окружности, описанной около треугольника $POQ$. ( Шакиев А. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5. Обозначим через $c(n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$ (включая единицу и само число). Найдите все пары $(a,b)$ натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению $4a^2+17=b^{c(b)}$. ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №6. Неугомонная Сестренка начертила остроугольный треугольник $ABC$ и провела в нем высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, которые пересеклись в точке $H$. Неугомонная Сестренка измерила длины трех отрезков $AH$, $BH$, $CH$ и записала результаты измерений на трех красных карточках. Не ограничившись этим, она измерила длины отрезков $HA_1$, $HB_1$, $HC_1$ и записала их на трех зеленых карточках. Желая развлечь Шустрого Братишку, не различающего красного и зеленого цветов, она передала ему все шесть карточек, предварительно перемешав их. Сможет ли Шустрый Братишка однозначно указать три красные карточки, если все шесть чисел, записанные на карточках, оказались различными? ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7. Пусть $M=\{2^0,2^1,2^2,\ldots,2^{2024}\}$. Медвежонок Паддингтон составил 675 квадратных трехчленов $ax^2+bx+c$, используя числа из множества $M$ в качестве коэффициентов таких трехчленов, причем каждое число использовалось ровно один раз. Затем Паддингтон построил графики этих квадратных трехчленов на координатной плоскости. На какое наименьшее количество частей эти графики могут разбить плоскость? ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(2) олимпиада