қазақша
русскийШакиев А.
Есеп №1. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Gamma$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — описанные окружности треугольников $AEB$ и $CED$, соответственно. На дуге $AB$, не содержащей точку $E$, окружности $\omega_1$ выбрана точка $P$, а на дуге $CD$, не содержащей точку $E$, окружности $\omega_2$ выбрана точка $Q$ так, что $\angle AEP = \angle QED$. Отрезок $PQ$ пересекает $\Gamma$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $PX=QY$. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. $AB = AC$ және $\angle BAC > 90^\circ$ болатындай $ABC$ үшбұрышы берілген. $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі. $M$ нүктесі $A$ нүктесіне $BC$ қабырғасына қатысты симметриялы нүкте. $BC$ түзуінің $C$ нүктесінен әрі созыңдысынан $D$ нүктесі алынған. $DM$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $ADE$ және $ADF$ үшбұрыштарына сырттай сызылаған шеңберлері $BC$ қабырғасын $P$ және $Q$ нүктесінде қияды. $A$, $P$, $O$ және $Q$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $AB = AC$ және $\angle BAC > 90^\circ$ болатындай $ABC$ үшбұрышы берілген. $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі. $M$ нүктесі $A$ нүктесіне $BC$ қабырғасына қатысты симметриялы нүкте. $BC$ түзуінің бойынан $C$ нүктесінен әрі созындысынан $D$ нүктесі алынған. $DM$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $ADE$ және $ADF$ үшбұрыштарына сырттай сызылаған шеңберлері $BC$ қабырғасын $P$ және $Q$ нүктесінде қияды. $DA$ түзуі $POQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №4. $AB = AC$ және $\angle BAC > 90^\circ$ болатындай $ABC$ үшбұрышы берілген. $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі. $M$ нүктесі $A$ нүктесіне $BC$ қабырғасына қатысты симметриялы нүкте. $BC$ түзуінің бойынан $C$ нүктесінен әрі созындысынан $D$ нүктесі алынған. $DM$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $ADE$ және $ADF$ үшбұрыштарына сырттай сызылаған шеңберлері $BC$ қабырғасын $P$ және $Q$ нүктесінде қияды. $DA$ түзуі $POQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз. ( Шакиев А. )
комментарий/решение олимпиада