Шакиев А.

Есеп №1. Четырёхугольник

$ABCD$ вписан в окружность

$\Gamma$ . Диагонали

$AC$ и

$BD$ пересекаются в точке

$E$ . Пусть

$\omega_1$ и

$\omega_2$ — описанные окружности треугольников

$AEB$ и

$CED$ , соответственно. На дуге

$AB$ , не содержащей точку

$E$ , окружности

$\omega_1$ выбрана точка

$P$ , а на дуге

$CD$ , не содержащей точку

$E$ , окружности

$\omega_2$ выбрана точка

$Q$ так, что

$\angle AEP = \angle QED$ . Отрезок

$PQ$ пересекает

$\Gamma$ в точках

$X$ и

$Y$ . Докажите, что

$PX=QY$ . ( Шакиев А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2.

$AB = AC$ және

$\angle BAC > 90^\circ$ болатындай

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$O$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі.

$M$ нүктесі

$A$ нүктесіне

$BC$ қабырғасына қатысты симметриялы нүкте.

$BC$ түзуінің

$C$ нүктесінен әрі созыңдысынан

$D$ нүктесі алынған.

$DM$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$ADE$ және

$ADF$ үшбұрыштарына сырттай сызылаған шеңберлері

$BC$ қабырғасын

$P$ және

$Q$ нүктесінде қияды.

$A$ ,

$P$ ,

$O$ және

$Q$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$AB = AC$ және

$\angle BAC > 90^\circ$ болатындай

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$O$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі.

$M$ нүктесі

$A$ нүктесіне

$BC$ қабырғасына қатысты симметриялы нүкте.

$BC$ түзуінің бойынан

$C$ нүктесінен әрі созындысынан

$D$ нүктесі алынған.

$DM$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$ADE$ және

$ADF$ үшбұрыштарына сырттай сызылаған шеңберлері

$BC$ қабырғасын

$P$ және

$Q$ нүктесінде қияды.

$DA$ түзуі

$POQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз. ( Шакиев А. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №4.

$AB = AC$ және

$\angle BAC > 90^\circ$ болатындай

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$O$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі.

$M$ нүктесі

$A$ нүктесіне

$BC$ қабырғасына қатысты симметриялы нүкте.

$BC$ түзуінің бойынан

$C$ нүктесінен әрі созындысынан

$D$ нүктесі алынған.

$DM$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$ADE$ және

$ADF$ үшбұрыштарына сырттай сызылаған шеңберлері

$BC$ қабырғасын

$P$ және

$Q$ нүктесінде қияды.

$DA$ түзуі

$POQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз. ( Шакиев А. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №5.

$c(n)$ арқылы натурал

$n$ санының барлық (1-ді және санның өзін қоса алғанда) бөлгіштерінің қосындысын белгілейік.

$4a^2+17=b^{c(b)}$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$(a,b)$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №6. Ағаның мазасыз қарындасы сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышын салып,

$H$ нүктесінде қиылысатын

$AA_1$ ,

$BB_1$ ,

$CC_1$ биіктіктерін жүргізді. Кейін ол үш

$AH$ ,

$BH$ ,

$CH$ кесінділерінің ұзындықтарын өлшеп, алынған өлшемдерді үш қызыл картаға жазды. Мұнымен шектелмей, ол

$HA_1$ ,

$HB_1$ ,

$HC_1$ кесінділерінің ұзындықтарын өлшеп, осы үш өлшемді үш жасыл картаға жазды. Қызыл және жасыл түсті ажырата алмайтын ағаның көңілін көтергісі келген қарындас карточкаларды араластырып, кейін барлық алты картаны ағасының алдына қойды. Егер алты картадағы барлық сандар әртүрлі болса, онда ағасы қай үш карта қызыл карта екенін таба ала ма? ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №7.

$M=\{2^0,2^1,2^2,\ldots,2^{2024}\}$ болсын. Пэддингтон есімді аю

$M$ жиынындағы әр санды коэффициент ретінде дәл бір рет қолданып,

$ax^2+bx+c$ түрдегі 675 үшмүшелік құрастырды. Кейін ол координаттық жазықтықта осы барлық үшмүшеліктердің графигін сызды. Осы графиктер жазықтықты кем дегенде неше бөлікке бөле алады? ( Шакиев А., Хаджимуратов Н )
комментарий/решение(2) олимпиада