Областная олимпиада по математике, 2022 год, 11 класс

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$ и $\angle BAC > 90^\circ$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $M$ симметрична точке $A$ относительно стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $D$. Прямая $DM$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $E$ и $F$. Окружности, описанные около треугольников $ADE$ и $ADF$ пересекают сторону $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямая $DA$ касается окружности, описанной около треугольника $POQ$. ( Шакиев А. )

Комментарий/решение

Понятно что $BD$ серпер к $AM$

$\textbf{Факт-1:}P$ центр оп окр $\triangle AEM$. Доказательство: $AP=AM, \angle APD=\dfrac{\angle APM}{2}=\angle AED$

Аналогично, $\textbf{Факт-2:}Q$ центр оп окр $\triangle AMF$

$\textbf{Факт-3}:EPOM$-вписанный. Доказательство:$ \angle PEA= \angle PDA= \angle QAF= \angle QFA= \alpha, \angle EMO=90+\alpha, EPAO-kite \Rightarrow \angle EPO=90-\alpha$

Аналогично $\textbf{Факт-4}:MOQF$-вписанный

$OQ \cap AF=X, \angle APO=90-\alpha, \angle OQA= 180- \dfrac{\angle AQF}{ 2} =\angle AMO= 90+\alpha \Rightarrow APOM$-вписанный.

Следовательно$ \angle AOQ=\angle QFM=\angle QAD \Rightarrow DA$ кас к оп окр $\triangle QPX$

Чат гпт монстр