Математикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 11 сынып

$AB = AC$ және $\angle BAC > 90^\circ$ болатындай $ABC$ үшбұрышы берілген. $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі. $M$ нүктесі $A$ нүктесіне $BC$ қабырғасына қатысты симметриялы нүкте. $BC$ түзуінің бойынан $C$ нүктесінен әрі созындысынан $D$ нүктесі алынған. $DM$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $ADE$ және $ADF$ үшбұрыштарына сырттай сызылаған шеңберлері $BC$ қабырғасын $P$ және $Q$ нүктесінде қияды. $DA$ түзуі $POQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз. ( Шакиев А. )

Комментарий/решение

Понятно что $BD$ серпер к $AM$

$\textbf{Факт-1:}P$ центр оп окр $\triangle AEM$. Доказательство: $AP=AM, \angle APD=\dfrac{\angle APM}{2}=\angle AED$

Аналогично, $\textbf{Факт-2:}Q$ центр оп окр $\triangle AMF$

$\textbf{Факт-3}:EPOM$-вписанный. Доказательство:$ \angle PEA= \angle PDA= \angle QAF= \angle QFA= \alpha, \angle EMO=90+\alpha, EPAO-kite \Rightarrow \angle EPO=90-\alpha$

Аналогично $\textbf{Факт-4}:MOQF$-вписанный

$OQ \cap AF=X, \angle APO=90-\alpha, \angle OQA= 180- \dfrac{\angle AQF}{ 2} =\angle AMO= 90+\alpha \Rightarrow APOM$-вписанный.

Следовательно$ \angle AOQ=\angle QFM=\angle QAD \Rightarrow DA$ кас к оп окр $\triangle QPX$

Чат гпт монстр