Областная олимпиада по математике, 2022 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. В остроугольном треугольнике

$ABC$ сторона

$AC$ наибольшая. Окружность

$\omega_1$ с центром в точке

$A$ и радиусом

$AB$ пересекает сторону

$BC$ в точке

$F$ . Окружность

$\omega_2$ с центром в точке

$C$ и радиусом

$CB$ пересекает сторону

$AB$ в точке

$E$ . Окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ вторично пересекаются в точке

$D$ . Прямая, параллельная

$EF$ и проходящая через

$B$ , вторично пересекает окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ в точках

$G$ и

$T$ соответственно. Докажите, что

$GT=DF+DE$ . ( С. Полянских )
комментарий/решение(6)

Задача №2. Найти все пары натуральных чисел

$(x, y)$ таких, что

$x^3 + 1$ делится на

$y^2$ , а

$y^3 +1$ делится на

$x^2$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть дан треугольник

$ABC$ со сторонами

$a = BC$ ,

$b = AC$ и

$c = AB$ . Докажите, неравенство

$\left(\frac{r_a}{p} + 1 \right)\left(\frac{r_b}{p} + 1 \right)\left(\frac{r_c}{p} + 1 \right) <\frac{8R\sqrt{2}}{p}.$ Здесь

$p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр,

$R$ — радиус описанной окружности треугольника

$ABC$ , а

$r_a$ ,

$r_b$ ,

$r_c$ — радиусы вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон

$BC$ ,

$AC$ ,

$AB$ соответственно. ( Жук В. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. На прямой отмечены

$n$ чёрных точек. Арман выбирает несколько из отмеченых точек (хотя бы одну, возможно, что все), остальные стирает. Самую левую из оставшихся точек он красит в красный цвет, остальные не стёртые точки (если такие есть) он красит либо в синий, либо в зелёный цвет. Арман подсчитал, что он может это сделать 3280 различными способами. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально? ( Жук В. )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан треугольник

$ABC$ , в котором

$AB = AC$ и

$\angle BAC > 90^\circ$ . Точка

$O$ — центр описанной окружности треугольника

$ABC$ . Точка

$M$ симметрична точке

$A$ относительно стороны

$BC$ . На продолжении стороны

$BC$ за точку

$C$ выбрана точка

$D$ . Прямая

$DM$ пересекает окружность, описанную около треугольника

$ABC$ , в точках

$E$ и

$F$ . Окружности, описанные около треугольников

$ADE$ и

$ADF$ пересекают сторону

$BC$ в точках

$P$ и

$Q$ соответственно. Докажите, что прямая

$DA$ касается окружности, описанной около треугольника

$POQ$ . ( Шакиев А. )
комментарий/решение

Задача №6. Найти все тройки натуральных чисел

$(a, b, c)$ , которые удовлетворяют условиям: числа

$a$ и

$6$ взаимно просты и выполнено равенство

$a^4 - b^3 = b^3 - c^2 = c^2 - a$ . ( Абдыкулов А. )
комментарий/решение(12)