қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2022 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. В остроугольном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ наибольшая. Окружность $\omega_1$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Окружность $\omega_2$ с центром в точке $C$ и радиусом $CB$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ вторично пересекаются в точке $D$. Прямая, параллельная $EF$ и проходящая через $B$, вторично пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $G$ и $T$ соответственно. Докажите, что $GT=DF+DE$.
(
С. Полянских
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №2. Найти все пары натуральных чисел $(x, y)$ таких, что $x^3 + 1$ делится на $y^2$, а $y^3 +1$ делится на $x^2$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Докажите, неравенство $$\left(\frac{r_a}{p} + 1 \right)\left(\frac{r_b}{p} + 1 \right)\left(\frac{r_c}{p} + 1 \right) <\frac{8R\sqrt{2}}{p}.$$ Здесь $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр, $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$, а $r_a$, $r_b$, $r_c$ — радиусы вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон $BC$, $AC$, $AB$ соответственно.
(
Жук В.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На прямой отмечены $n$ чёрных точек. Арман выбирает несколько из отмеченых точек (хотя бы одну, возможно, что все), остальные стирает. Самую левую из оставшихся точек он красит в красный цвет, остальные не стёртые точки (если такие есть) он красит либо в синий, либо в зелёный цвет. Арман подсчитал, что он может это сделать 3280 различными способами. Сколько чёрных точек было отмечено на прямой изначально?
(
Жук В.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$ и $\angle BAC > 90^\circ$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $M$ симметрична точке $A$ относительно стороны $BC$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $D$. Прямая $DM$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $E$ и $F$. Окружности, описанные около треугольников $ADE$ и $ADF$ пересекают сторону $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямая $DA$ касается окружности, описанной около треугольника $POQ$.
(
Шакиев А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Найти все тройки натуральных чисел $(a, b, c)$, которые удовлетворяют условиям: числа $a$ и $6$ взаимно просты и выполнено равенство $a^4 - b^3 = b^3 - c^2 = c^2 - a$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)