қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2022 жыл, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында $AC$ қабырғасы ең үлкені. Центрі $A$ радиусы $AB$ болатын $\omega_1$ шеңбері $BC$ қабырғасын $F$ нүктесінде қияды. Центрі $C$ радиусы $CB$ болатын $\omega_2$ шеңбері $AB$ қабырғасын $E$ нүктесінде қияды. $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері екінші рет $D$ нүктесінде қиылысады. B нүктесінен өтетін $EF$ түзуіне параллель түзу $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерін екінші рет сәйкесінше $G$ және $T$ нүктелерінде қияды. $GT=DF+DE$ болатынын дәлелдеңіз.
(
С. Полянских
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №2. $x^3 + 1$ саны $y^2$-қа, ал $y^3 +1$ саны $x^2$-қа бөлінетіндей барлық $(x, y)$ натурал сандар жұптарын табыңыз.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $a = BC$, $b = AC$ және $c = AB$ болатындай $ABC$ үшбұрышы берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$ \left(\frac{r_a}{p} + 1 \right) \left(\frac{r_b}{p} + 1 \right) \left(\frac{r_c}{p} + 1 \right) < \frac{8R\sqrt{2}}{p}.$$ Бұл жерде $p = \frac{a + b + c}{2}$ — жарты периметр, $R$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы, ал $r_a$, $r_b$, $r_c$ — сәйкесінше $BC$, $AC$ және $AB$ қабырғаларын жанайтын үшбұрыштың іштейсырт сызылған шеңберлердің радиустары.
(
Жук В.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Түзудің бойынан $n$ қара түсті нүктелер белгіленген. Арман белгіленген нүктелердің бірнешеуін таңдап (кем дегенде біреу немесе барлығы болуыда мүмкін), ал қалғандарын өшіріп тастайды. Ол қалған нүктелердің ішіндегі ең сол жағындағы нүктені қызыл түске бояйды, ал қалған өшпеген нүктелерді (егер олар болса) ол не көк не жасыл түске бояйды. Арман осылай әр түрлі $3280$ тәсілмен істеп шығуға болатынын есептеді. Түзудің бойынан басында қанша қара түсті нүктелер белгіленген?
(
Жук В.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $AB = AC$ және $\angle BAC > 90^\circ$ болатындай $ABC$ үшбұрышы берілген. $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі. $M$ нүктесі $A$ нүктесіне $BC$ қабырғасына қатысты симметриялы нүкте. $BC$ түзуінің бойынан $C$ нүктесінен әрі созындысынан $D$ нүктесі алынған. $DM$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $ADE$ және $ADF$ үшбұрыштарына сырттай сызылаған шеңберлері $BC$ қабырғасын $P$ және $Q$ нүктесінде қияды. $DA$ түзуі $POQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз.
(
Шакиев А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық $(a, b, c)$ натурал сандар үштігін табыңыз: $a$ және $6$ өзара жай сандар және $a^4 - b^3 = b^3 - c^2 = c^2 - a$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)