Областная олимпиада по математике, 2022 год, 11 класс

Найти все тройки натуральных чисел $(a, b, c)$, которые удовлетворяют условиям: числа $a$ и $6$ взаимно просты и выполнено равенство $a^4 - b^3 = b^3 - c^2 = c^2 - a$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Честно, у меня нет догадок зачем тут $(a,6)=1$ если я использовал только $(a,3)=1$ (если решение неверное то скажите).

Если данная задача это $m=n=k$ то первое равенство это $m=n$, второе это $n=k$ и третье это $m=k$ (сделаю так для удобства).

Пусть - $a=dx, b=dy$ | $(x,y)=1.$

Первое равенство нам даст что $c^2=2d^3y^3-d^4x^4$, заменим $c^2$ на полученное во втором равенстве и получим: $$4d^3y^3-2d^4x^4=d^3y^3+dx$$

Сократим на $d$ и увидим что $4d^2y^3-2d^3x^4=d^2y^3+x \rightarrow 3d^2y^3-2d^3x^4=x$, все слоги делятся на $d^2$ кроме $x$, значит $x$ делится на $d^2$. А еще, все делится на $x$ кроме $3d^2y^3$, значит оно тоже делится на $x$. Так как $(3,x)=(y^3,x)=1$, то $d^2$ делится на $x$. $x$ делится на $d^2$ и $d^2$ делится на $x$, значит $d^2=x$, заменим и получим $3y^3=2d^9+1$, запомним.

Посмотрим как преобразилось $c^2$, $c^2=2d^3y^3-d^12$. Можем поделить на $d^2$ и $c^2/d^2=e^2$, $e^2=d(2y^3-d^9)$, заметим что $2y^3-d^9$ взаимно прост с $d$ ибо $(y,d)=(2,d)=1$, значит $d$ должен быть квадратом, пусть $d=w^2$, $e^2=w^2(2y^3-w^{18})$ значит $f^2=2y^3-w^{18}$. Ну и запара, но умножив $f^2$ на $9$ он все еще будет квадратом, пусть $q^2=18y^3-9w^{18}$. Помните что мы запомнили?(какое то равенство с $y$ и $d$.) Умножим его на $6$ и используем: $q^2=3w^{18}+6$.

Для удобства пусть $w^9=m$, тогда $q^2=3m^2+6$ или $(q-3)(q+3)=3(m+1)(m-1)$. $(m,6)=1$, жб справа делится на $9$, значит $q$ делится на $3$, пусть $q=3r$ и все преображается в $3(r-1)(r+1)=(m+1)(m-1)$. Либо $m-1=3l$ и $(r-1)(r+1)=l(3l+2)$, там получится по взаимно простым что $3l+2=r+1$ и $l=r-1$ и $l=0$, значит $a=1$.

Прибавим первое удвоенное равенство со вторым и получим что $4b^3=b^3+3$ и $b=1$, а после легко найти что $c=1$.

Ответ: $\boxed{a=b=c=1}$

Вот это да. Я слышал где-то, что математики делятся типом мышления на алгебраистов и геометров. Алгебраисты с ходу сухие выражения хорошо понимают, а геометрам нужно представить как оно там выглядит, как это можно себе представить. Вот вы, алгебраист, хорошо сообразили, что $c^2$ здесь можно подсчитать целыми тремя способами через $a$ и $b$, да и еще в разных степенях так что можно ввести $a=dx, b=dy, d=(a,\: b)$ и там заведомо что-то да должно затем выйти. А я, геометр, пытался сначала представить у себя в голове геометрично, понял что это ариф. прогрессия, затем пытался рукомахательно, вот прям чтобы красиво было, найти все решения... Ничего не вышло.

У вас там есть одна ошибка не влияющая в целом на ход решения. Вы на $2d^3y^3-d^{12}=d^8+d^2-d^3y^3$ подумали, что $a=d^2$ хотя это $x=d^2$, а $a=dx=x^3$. На самом деле там затем выйдет $3d^3y^3=2d^{12}+d^3\Rightarrow3b=2a^4+a\Rightarrow a\,|\,b$ и тогда $d=(a,\; b)=a\Rightarrow d^3=d=1$. И действительно, тут использовалось только $(a,\; 3)=1$.

отличные рассуждения! мне их очень интересно читать на самом деле), но у вас тоже вышла ошибочка :(

там не $3b$ а $3b^3$..

Да, заметил, я в это время пытался добить задачу

Так, я сам когда исправлял ошибся. Там не $3b=2a^4+a$ должно выйти, а $3b^3=2a^4+a$. Дальше у меня ничего не выходит.

кажется задача не решается $dx,dy$ (хотя других идей 0), короче завтра утром добью, а пока вам спокойной ночи и хорошо выспаться перед универом или школой

Я бы написал спасибо, но я тогда свой ответ отправлял и не увидел.

Вообще я тоже 11 кл. Я недавно посмотрел резы прошлой респы - мы даже одинаковое количество баллов оказывается набрали

Наверное там опять нужно будет доставать "теоремы Жерара"

хахахахаххахах

заметим что тогда $a$ нечетное и тогда $b$ и $c$ одинаковой четности можем заметить что $a^4+c^2= 2b^3$ отсюда понимаем что $c,b$ нечетные

$a=2c^2-b^3 , a^4=2b^3-c^2,a^4+a=b^3+c^2$ мы можем это получить, по Б.О.О мы можем предположить что $a^3\geq b^3 >c^3$ отсюда $b^3>c^2*2$ но у нас $2c^2>b^3$ откуда $b=c$ .Тогда заметим что $a^4-c^3=c^3-c^2=c^2-a$ $\rightarrow a^4+c^2=c(c^3+a) \rightarrow a=cx \rightarrow c^4x^4+c^2=c(c^3+a) \rightarrow c^2x^4+1=c^2+x$ пусть $c^2>x$ но тогда $c^2x^4+1>c^2+x$ но у нас равно аналогично если наоборот так что $c=x$ $c^6+1>c^2+c$ правое делится на $c$ левое нет если $c \ne 1$ а если $c=1$ то делится откуда ответ $a=b=c=1$

вы не можете брать Б.О.О $a^3>b^3>c^3$ , здесь не симметричное уравнение.

легенда