С. Полянских

Есеп №1. Дана бесконечная клетчатая бумага с размером клеток

$1$ см. В узлах клеток отмечено

$2019$ точек так, что расстояние между любыми двумя отмеченными точками равно натуральному числу сантиметров. Докажите, что больше

$333333$ из этих расстояний являются натуральными числами, которые делятся на

$3$ . ( С. Полянских )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №2.

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында

$AC$ қабырғасы ең үлкені. Центрі

$A$ радиусы

$AB$ болатын

$\omega_1$ шеңбері

$BC$ қабырғасын

$F$ нүктесінде қияды. Центрі

$C$ радиусы

$CB$ болатын

$\omega_2$ шеңбері

$AB$ қабырғасын

$E$ нүктесінде қияды.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері екінші рет

$D$ нүктесінде қиылысады. B нүктесінен өтетін

$EF$ түзуіне параллель түзу

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерін екінші рет сәйкесінше

$G$ және

$T$ нүктелерінде қияды.

$GT=DF+DE$ болатынын дәлелдеңіз. ( С. Полянских )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №3.

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында

$AC$ қабырғасы ең үлкені. Центрі

$A$ радиусы

$AB$ болатын

$\omega_1$ шеңбері

$BC$ қабырғасын

$F$ нүктесінде қияды. Центрі

$C$ радиусы

$CB$ болатын

$\omega_2$ шеңбері

$AB$ қабырғасын

$E$ нүктесінде қияды.

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері екінші рет

$D$ нүктесінде қиылысады. B нүктесінен өтетін

$EF$ түзуіне параллель түзу

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерін екінші рет сәйкесінше

$G$ және

$T$ нүктелерінде қияды.

$GT=DF+DE$ болатынын дәлелдеңіз. ( С. Полянских )
комментарий/решение(6) олимпиада